Вы здесь

Параболічні варіаційні нерівності без початкових умов

Автор: 
Бугрій Олег Миколайович
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2002
Артикул:
0402U001352
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

РОЗДІЛ 2
ПАРАБОЛІЧНІ ВАРІАЦІЙНІ НЕРІВНОСТІ В ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА
Параболічні варіаційні нерівності без початкових умов вивчали Ліонс Ж.-Л., Пан-
ков О.А., Фрідман А., Лавренюк С. П. та Бокало М. М. Зокрема Ліонс Ж.-Л. та Панков О. А. в [51, 64-67] вивчили такі нерівності в класах обмежених, періодичних та майже періодичних за часовою змінною функцій. Не накладаючи ніяких умов на поведінку при t? -? вихідних даних, Лавренюк С. П. [135] та Бокало М. М. [103] встановили існування та єдиність розв'язку деяких класів сильно нелінійних параболічних варіаційних нерівностей без початкових умов.
Для півлінійних параболічних нерівностей з нелінійним членом типу ?u?q-2u, 1???q ? 2 в [43] клас існування та єдиності їх розв'язку визначили рівністю limt? -? e2?t ???u(x,t)?2 dx = 0, де ????0. Фрідман А. у [118] розглянув лінійну параболічну нерівність в області, необмеженій за всіма змінними та визначив для неї клас коректності за допомогою умови limt? +? ?? ?u(x,t)?2 e?t+??x? dx = 0. Цю нерівність заміною змінних можна звести до нерівності без початкових умов.
У другому розділі дисертації поряд з варіаційними нерівностями доведено низку допоміжних тверджень, які використано на протязі всієї дисертації. У першому підрозділі вивчено слабко нелінійні параболічні варіаційні нерівності без початкових умов загальнішого ніж у [43] вигляду. Отримано умови існування та єдиності розв'язку цих нерівностей, які при певних умовах на коефіцієнти, збігаються з результатами [43].
У другому підрозділі розглянуто системи лінійних параболічних варіаційних нерівностей без початкових умов в області, необмеженій за просторовими та часовою змінними. На відміну від [118], розв'язок знайдено в класі функцій, які зростають при ?x??+?, t? - ? не швидше за e2?t+??x??, де ? ? 1, ? = ?(?), ? = ?(?).
За допомогою методу введення параметра в третьому підрозділі знайдено Тихоновські класи єдиності розв'язку лінійної параболічної варіаційної нерівності з обмеженими коефіцієнтами в області, необмеженій за просторовими змінними.
2.1. Слабко нелінійні параболічні варіаційні нерівності без початкових умов
Введемо позначення, якими будемо користуватися протягом всієї дисертації. Нехай ? ? Rn - область з межею ?? ? C1, QT = ??(-?,T), -????T???+?, Qt1,t2 = ??(t1,t2),
t1,t2 ? (-?,T], t1???t2. Норму банахового простору B позначатимемо ?? · ;B??, а спряжений до B простір - B*. Нехай L locp(-?,T;B), 1???p ? ? - простір тих функцій, які належать до Lp(t0,T;B) для всіх t0 ? (-?,T). Аналогічно як в [20, с. 145], розглядатимемо u= u(x,t), як функцію, яка кожному моменту часу t ставить у відповідність функцію змінної x: u(t) = u(·,t). Щоб не збільшувати об'єм праці, там де це не викликатиме протиріччь, будемо замість u(x,t) писати просто u, а замість u(·,t) - u(t).
У цьому підрозділі припускатимемо, що ? - обмежена область. Нехай H1(?) - простір фунцій, які разом зі своїми першими похідними є інтегровними з квадратом, H01(?) - замикання в H1(?) функцій з C0?(??), V - замкнений підпростір, H01(?)?V?H1(?), K - випукла замкнена множина в V, яка містить нульовий елемент, ?·,·? - скалярний добуток між V* і V, ??·,·?? = ?-?T ?·,·?dt, символ ? означає неперервне вкладення.
Зауваження 2.1. Оскільки V - замкнений підпростір рефлексивного простору H1(?), то з [37, с. 181] випливає, що V є рефлексивним простором. З вибору V маємо V??L2(?), де символ ?? означає неперервне та щільне вкладення. Тому, ототожнивши L2(?) зі спряженим до нього простором, ми можемо ототожнити його з деяким підпростором простору V*. Отже, V??L2(?)??V*.
Дамо означення розв'язку варіаційної нерівності, яку досліджуватимемо в цьому підрозділі.
Означення 2.1. Функцію u ? C((-?,T];L2(?))?L loc2(-?,T;V), u(t) ? K майже для всіх
t ? (-?,T) називатимемо розв'язком параболічної варіаційної нерівності
Qt1,t2 ?
??vt(v-u)+n
i = 1 ai(x,?uxi?)uxi(vxi-uxi)+n
i = 1bi(x,t)uxi(v-u)+ +c(x,t)u(v-u)+g(x,t,u)(v-u)-f0(x,t)(v-u) -
-n
i = 1 fi(x,t)(vxi-uxi) ?
??dxdt ? 1
? ?v(x,t)-u(x,t)?2 dx?
??t = t2
t = t1 (2.1)якщо вона задовольняє (2.1) для довільних t1,t2 ? (-?,T], t1???t2 і для довільної функції v ? L loc2(-?,T;V) такої, що vt ? L loc2(-?,T;V*), v(t) ? K майже для всіх
t ? (-?,T).
Вважатимемо, що функції ai, bi, i =?1,n, c, g задовольняють умови:
(A 2.1): ai ? L?(??R+), функція r? ai(x,r) неперервна на R+ майже для всіх x ? ?, функція x? ai(x,r) вимірна на ? для всіх r ? R+, (ai(x,r)r-ai(x,s)s)(r-s) ? a0?r-s?2 для всіх r,s ? R+ і майже всіх x ? ?, де a0 =const, a0???0, i =?1,n;
(B 2.1): b0 = sup(x,t) ? QT?i = 1n ?bi(x,t)?2???+?;
(C 2.1): c ? L?(QT); c(x,t) ? c0 =const майже скрізь в QT, де c0 ? R;
(G 2.1): функція s? g(x,t,s) неперервна та монотонна на R майже для всіх (x,t) ? QT, а функція (x,t)? g(x,t,s) вимірна на QT для всіх s ? R; ?g(x,t,s)? ? g0?s?q-1 для всіх s ? R і майже всіх (x,t) ? QT, де g0, q =const, 1???q ? 2.
Прикладом функцій, які задовольняють умови (A 2.1), (G 2.1) можуть, зокрема, бути ai(x,s) = a0+ arctg s, i =?1,n та g(x,t,s) = g0?s?q-2s, де a0, g0???0.
Визначимо оператори A0, A(t):V? V* та елементи F(t) ? V* так:
?A0 u,v ? = ?? ?i = 1n ai(?uxi?)uxivxi dx, ?A(t)u,v ? = ?A0 u,v ?+?? [?i = 1n buxiv+cuv+g(u)v ] dx, ?F(t),v ? = ?? [f0v+?i = 1n fivxi ] dx, u,v ? V, t ? (-?,T).
Зауважимо, що при виконанні умов (A 2.1) - (G 2.1) матимемо оцінки
?A0 u-A0 v,u-v ? ? a0?? ??(u-v)?2 dx та
?A(t)u-A(t)v,u-v ? ?
??
??a0n
i = 1?uxi-vxi?2-?0
2?
??n
i = 1bi(uxi-vxi)?
??2
+
+?
??c0-1
2?0?
???u-v?2 ?
??dx ?
? ?
???
??a0-b0?0
2?
??n
i = 1 ?uxi-vxi?2-
+?
??c0-1
2?0?
???u-v?2 ?
??dx = 4a0c0-b0
4a0
? ?u-v?2 dx \tag 2.2 для всіх t ? (-?,T], де ?0 = 2a0/b0.
Для доведення теореми єдиності розв'язку варіаційної нерівності (2.1) нам буде потрібна така лема.
Лема 2.1. Нехай y ? C((a,b)), y(t) ? 0 на (a,b), де -