Вы здесь

Змішаний метод скінченних елементів у задачах на власні значення пологих оболонок

Автор: 
Вербіцький Віктор Васильович
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2002
Артикул:
0402U003131
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

Глава 2
6 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В этой главе рассматривается постановка задачи о напряженно-деформированном состоянии пологой оболочки, для которой затем приводятся вариационная и смешанная вариационная формулировки. Последняя применяется для построения дискретной задачи по схеме Германа-Джонсона СМКЭ. Формулируется теорема о скорости сходимости дискретного решения.
Вводятся определения спектральных характеристик голоморфной оператор-функции и операторного пучка. Формулируется теорема о спектре полиномиального пучка компактных операторов.

6.1 СМКЭ в задачах о деформации пологих оболочек

Рассмотрим основные моменты схемы Германа-Джонсона смeшанного метода конечных элементов для задач о деформации пологих оболочек [96,97].
Пусть - выпуклая многоугольная область из с границей . В этой области рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений в перемещениях, описывающих состояние равновесия пологой оболочки постоянной кривизны [21,29,70].

,

,

, (2.1)

где - уравнение срединной поверхности оболочки, , , , - модуль Юнга материала, - толщина оболочки, -коэффициент Пуассона, , - касательные перемещения, - прогиб, - бигармонический оператор, - касательные, - нормальная составляющие вектора нагрузки .
Рассмотрим основные краевые условия на . Для :
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
для и :
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Здесь

-
нормальный момент,

- обобщенное перерезывающее усилие, - вектор внешней нормали к , - вектор касательной к , -- естественный параметр, являющийся длиной дуги вдоль , - касательные и сдвигающее усилия

,
,
,

где , , - мембранные деформации срединной поверхности оболочки:

,

,

,

- радиусы кривизны срединной поверхности вдоль координат и , соответственно, - геодезическое кручение:
,
,
,
Основные краевые условия для системы (2.1) получаются объединением любого из четырех условий для с любым из четырех условий для и .

Рассмотрим перемещение , удовлетворяющее следующим условиям

, (2.10)

, (2.11)

Такое перемещение обычно называют жестким перемещением оболочки, т.е. таким перемещением, которое не вызывает деформации срединной поверхности. Вид жесткого перемещения, который обусловлен гипотезами пологой оболочки, описывается системой (2.10), (2.11) и зависит от краевых условий. В случае условий (2.2), (2.6) компоненты жесткого перемещения , в .
Рассмотрим пространство
.
Множество жестких перемещений оболочки обозначим через . Под будем понимать фактор-пространство
,
или его подпространство, связанное с главными краевыми условиями, когда или в определении заменяются на или , соответственно.
Пространство является банаховым пространством с фактор-нормой

.

Введем на пространстве непрерывную симметричную билинейную форму , связанную с энергией изгибной деформации пологой оболочки,

и непрерывную симметричную билинейную форму на пространстве , связанную с энергией мембранной деформации,

.

Тогда функционал энергии, соответствующий краевой задаче (2.1)-(2.9) имеет вид

,
где

- отношение двойственности между пространствами и .
Теорема 2.1 [96,97]. Пусть . Тогда любая из краевых задач для системы (2.1) имеет единственное решение , если выполнено условие разрешимости

Следствие 2.11 [96,97]. Пусть . Тогда краевая задача для системы (2.1) с главными краевыми условиями (2.2)-(2.6) имеет единственное решение для любого из .

Определим вещественные гильбертовы пространства
, ,
.

Поскольку билинейная форма

непрерывна на пространстве , симметрична и -эллиптична [96,97], то задача о нахождении минимума функционала (2.12) на пространстве равносильна следующей вариационной задаче [67,85]:
.Для найти , так, что

, (2.13)

Задача (2.13) равносильна такой вариационной [96, 97]: для найти , чтобы

(2.14)
, (2.15)
где
,

,

.

Пусть - регулярная триангуляция области конечным числом треугольников с максимальным диаметром . Пусть на каждом задана функция .
Положим
где и - векторы внешней нормали и касательной к сторонам треугольника. Обозначим через объединение внутренностей любых и из , которые имеют общую сторону. Определим вещественные пространства
,

,
где - нормаль к общей стороне треугольников и внутренности которых составляют множество . В пространстве определим норму

.

Отметим, что , , причем плотно в . На введем непрерывную билинейную форму

Заметим, что если , то

Рассмотрим задачу: .для найти такую пару , что
(2.16)

(2.17)
Билинейные формы этой задачи обладают следующими фундаментальными свойствами. Билинейная форма -эллиптична:
, (2.18)
билинейная форма удовлетворяет условию слабой эллиптичности:

, (2.19)
, (2.20)
где - константы (не зависит от .
Задача (2.14)-(2.15) и задача (2.16)-(2.17) связаны следующим образом:
Теорема 2.2 [96,97] Решение задачи (2.14)-(2.15) такое, что является единственным решением задачи (2.16)-(2.17)
Для целого определим пространства
,
,
где - означает пространство многочленов степени , - пространство сплайнов степени