Вы здесь

Вплив битого льоду на прогресивні поверхневі хвилі кінцевої амплітуди

Автор: 
Букатов Антон Олексійович
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2003
Артикул:
0403U000011
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

Глава 2.
ВЛИЯНИЕ БИТОГО ЛЬДА НА НЕЛИНЕЙНОЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН
Методом многих масштабов получены асимптотические разложения до величин
третьего порядка для возвышения поверхности бассейна и потенциала скорости
движения жидких частиц волнового возмущения, формируемого при нелинейном
взаимодействии периодических бегущих волн первой и второй гармоник в покрытой
битым льдом однородной идеальной несжимаемой жидкости конечной постоянной
глубины. Исследована зависимость амплитудно-фазовой структуры возмущений от
толщины льда, глубины бассейна и параметров взаимодействующих гармоник. Дана
оценка погрешности определения характеристик формируемого вертикального
смещения поверхности бассейна, вносимой пренебрежением кривизны волнового
профиля в выражении потенциала скорости при выводе кинематического и
динамического поверхностных граничных условий для нелинейных приближений.
§2.1 Выражения для потенциала скорости и возвышения поверхности бассейна при
взаимодействии волн первой и второй гармоник.
1. Рассмотрим теперь влияние плавающего битого льда на нелинейное
взаимодействие периодических бегущих волн первой и второй гармоник в
неограниченном в горизонтальных направлениях слое однородной идеальной
несжимаемой жидкости. При этом пренебрежем нелинейностью вертикального
ускорения льдин, принимая во внимание слабое его влияние на амплитуду
формируемого бегущей волной конечной амплитуды возвышения поверхности бассейна
(§1.3). Тогда для определения нелинейных приближений в общем случае
неустановившихся возмущений конечной амплитуды получим уравнения (1.21)-(1.25)
с той разницей, что выражения Fn*, Ln* примут вид
(2.1)
Слагаемые Pn0, Ln0 обусловлены учетом зависимости z от x и t при нахождении
скорости jx горизонтальных поверхностных волновых течений (1.17) и производной
jt из выражения (1.15) для потенциала скорости j на поверхности бассейна.
2. Для решения задачи (1.21)–(1.25), (2.1) в рассматриваемом случае зададим
первое приближение (n = 1) возмущений поверхности бассейна в форме
, (2.2)
где a1 постоянная порядка единицы, а b1(0) = 0. Удовлетворяя условию на дне и
учитывая взаимосвязь волновых характеристик через граничные условия (1.22),
(1.23), запишем
(2.3)
Амплитуду a1 и фазовый сдвиг b1 определим из последующих приближений. Подставим
z1, j1 из (2.2), (2.3) в правые части (2.1) динамического (1.22) и
кинематического (1.23) граничных условий для второго приближения и решив задачу
(1.21)-(1.24), (2.1) при n = 2 с учетом требования отсутствия первой и второй
гармоник в частном решении, получим
(2.4)
(2.5)
(2.6)
,
Здесь
,
,
, ,
,
а выражения для a2 и b2 определим из третьего приближения. Выражения для z1, j1
из (2.2), (2.3), (2.6) и z2, j2 из (2.4), (2.5), (2.6) определяют правые части
динамического (1.22) и кинематического (1.23) условий при n = 3. Исключив из
них слагаемые, порождающие секулярность, найдем
, ,
, (2.7)

Тогда решение задачи для третьего приближения (n = 3) имеет вид
(2.8)
(2.9)
где
,

,
,
а величина a3 может быть определена из уравнений для четвертого приближения.
Таким образом, возмущение покрытой битым льдом поверхности бассейна конечной
глубины при нелинейном взаимодействии периодических прогрессивных волн первой и
второй гармоник до величин третьего порядка определяются выражением
(2.10)
Фазовую скорость волновых возмущений определим по формуле
Соответствующее выражение на основании формул (2.3), (2.5), (2.9) можно
записать и для потенциала скорости
(2.11)
В размерных переменных (, где a и k амплитуда и волновое число основной
линейной гармоники) выражения для возвышения поверхности бассейна и потенциала
скорости примут вид
(2.12)
(2.13)
При этом
3. Формулы (2.10)-(2.13) для z и j определяют формируемое волновое возмущение
и при отказе от учета кривизны волнового профиля в выражении для потенциала
скорости (1.15) на поверхности бассейна [16, 111]. Однако в таком случае (P20 =
P30 = L30 = 0) следует учесть, что
(2.14)

Все другие обозначения остаются прежними.
§2.2 Анализ амплитудно-фазовых характеристик формируемого волнового возмущения.
1. Из полученных соотношений следует, что частота s и фазовая скорость n
зависит от амплитуд взаимодействующих гармоник. Причем влияние амплитуд в
ледовых условиях и при отсутствии льда сказывается как в первом так и во втором
приближениях. В случае a1 = 0 частота и фазовая скорость распространения волн
конечной амплитуды в бассейне со свободной и покрытой льдом поверхностью
зависит от амплитуды начальной линейной гармоники только во втором приближении
[2, 17, 43, 72, 73, 82, 87, 102, 110, 124, 130].
Величина , характеризующая фазовый сдвиг колебаний в приближении порядка e, в
случае kH >> 1(короткие волны) обращается в нуль. На мелкой воде (длинные
волны)
(2.15)
Если пренебречь кривизной волнового профиля в выражении для j на поверхности
бассейна, то
(2.16)
для глубокой воды и
(2.17)
в длинноволновом приближении. Направленность этого фазового сдвига,
обусловленного участием второй гармоники в формировании волнового движения,
определяется знаком при a1. Из (2.16) следует, что в случае Pn0 = Ln0 = 0, n =
1, 2, 3 функция s0(k) для коротких волн