Вы здесь

Теорія розв'язності і наближене розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь та їх систем у винятковому випадку

Автор: 
Ковальова Галина Володимирівна
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2003
Артикул:
0403U003623
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

Глава 2
НОРМАЛИЗАЦИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПРОИЗВОЛЬНОМ КОНТУРЕ
В настоящей главе строятся нормализующие пространства для СИУ с вырождающимся символом на сложном контуре.

2.1. -факторизация функций на сложном контуре

Пусть контур Г состоит из конечного числа простых замкнутых кривых Г1, Г2, ..., Г?, не имеющих общих точек и удовлетворяющих условию Ляпунова всюду, кроме конечного числа точек. Контур Г разбивает расширенную комплексную плоскость на два открытых множества D+ и D-, для которых Г является границей. Не ограничивая общности, будем считать, что точка принадлежит области D+, а точка - области D-. Предположим, что контур Г ориентирован положительно.
Пусть - вещественнозначная неотрицательная функция на Г, удовлетворяющая условию Ханта-Маккенхаупта-Уидена (1.2), 1

(см., напр., [9, с. 253], [23]). Условию(1.2) удовлетворяют, например,
функции вида , где , - попарно различные точки контура Г, а рациональные числа удовлетворяют неравенству [12, с. 28]. Примером непрерывной функции, имеющей бесконечное число нулей и удовлетворяющей условию (2.1) на
единичной окружности, может служить следующая функция:
.
Известно, что при выше указанных предположениях относительно контура Г и веса r(t) оператор сингулярного интегрирования S , определенный формулой

а также связанные с ним проекторы Рисса
, (2.1)
где здесь и ниже I - единичный оператор, ограничены в пространстве
(1.1) (см., напр., [9, с. 253], [12, с. 28], [23]). Через обозначим образ проектора Р+, а через - образ проектора Р- в пространстве . При
этом под будем понимать подпространство , где - линейная оболочка функции .
Пусть - вещественнозначная, неотрицательная, принадлежащая пространству L? на Г функция, такая, что - интегрируемая на Г функция. Таким свойством обладают, например, функции и , где а и b - точки контура Г, , а также произведение любого конечного числа таких функций с различными точками вырождения. Примером функции, имеющей бесконечное множество нулей на единичной окружности, логарифм которой интегрируем, может служить функция , где
.
В дальнейшем функции будут определять множество нулей символа СИУ, а также и порядки этих нулей.
Через () будем обозначать функции, совпадающие по модулю со значениями функции п.в. на Г, и допускающие аналитическое продолжение в область , не обращающееся в нуль в этой области. В качестве функции () можно взять, например, угловое предельное значение при , внешней функции (см., напр., [9, с.73] или [59, с.181])
где - конформное отображение связной компоненты множества на единичный круг, а - обратное отображение.
В дальнейшем будем говорить, - что принадлежащая пространству на Г функция невырождена на контуре Г, если .
Определение 2.1. Будем говорить, что принадлежащая пространству на Г функция допускает - факторизацию в пространстве , если функция ограничена и не вырождается на контуре Г, и функция представима в виде: , где k - целое число, , , причем , либо , , , и оператор ограничен в пространстве (соответственно , либо , , и оператор ограничен в .
Будем говорить, что принадлежащая пространству на Г функция допускает -факторизацию в пространстве , если функция ограничена и не вырождается на контуре Г, и функция представима в виде: , где k - целое число, функции и аналитически продолжимы в области соответственно и , , , , и либо допускает аналитическое продолжение соответственно в область или ( , , , и либо допускает аналитическое продолжение соответственно в область или ).
-факторизуемость функции означает, в частности, что функция вырождается в тех же точках контура Г, что и функция , причем порядки нулей функцией и совпадают. Кроме того, при - факторизации все особенности функции сосредотачиваются в множителе .
Приведенное определение обобщает определение факторизуемости функции относительно контура в пространстве по терминологии работы [12, с.268], либо Ф-факторизуемости в пространстве по терминологии работы [62, с.105]. Приведем это определение.
Будем говорить, что функция допускает факторизацию в пространстве , если существует представление , где k - целое число, , , , , , и оператор ограничен в пространстве .
Очевидно, что если функция () допускает факторизацию в пространстве , то функция - факторизуема в пространстве .
Следующая лемма показывает, что -факторизуемость функции не зависит от значений функции на тех промежутках контура Г, где она не вырождается.
Лемма 2.1. Пусть и - вещественнозначные, неотрица-тельные, принадлежащие на Г функции, такие, что функции и интегрируемы на Г, причем функция ограничена и не вырождается на Г. Тогда -факторизуемость функции эквивалентна ее - факторизуемости, и если - - факторизация функции , то она является и ее - факторизацией.
Доказательство. Действительно, если условия леммы выполнены, и -факторизация функции , то функция принадлежит тому же пространству, что и функция , а оператор ограничен в пространстве , т.е. функция допускает -факторизацию. В случае -факторизуемости функции рассуждения проводятся аналогичным образом.
Замечание 2.1. Функция, допускающая -факторизацию в пространстве , может не допускать -факторизации в этом же пространстве.
Действительно, рассмотрим на единичной окружности однозначную ветвь функции . Т.к. в качестве функции можно взять саму функцию , то допускает -факторизацию в любом пространстве , . Пусть - однозначная ветвь функции . Тогда , а функция не допускает факторизации в пространстве ([62, с. 64], [12, с. 287]).
Укажем некоторые достаточные условия, при которых функции, допускающие - факторизацию, допускают также - факторизацию.
Лемма 2.2. 1) Пусть