Вы здесь

Диференціально-символьний метод розв'язування задачі Коші та двоточкової задачі для систем рівнянь із частинними похідними другого порядку за часом

Автор: 
Воробець Марія Богданівна
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2004
Артикул:
0404U000910
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

розділ 2, то нам потрібно дослідити задачу (3.1), (3.4).
3.1. Формальний розв'язок задачі.
Покажемо, що формальний розв'язок задачі (3.1), (3.4) визначається за формулою:
, (3.5)
або у покомпонентному вигляді
, , (3.6)
де, як і у розділі 2, - визначник матриці , - алгебричні доповнення елементів матриці , елементи матриць , , визначаються за формулами (2.8), (2.9), що задовольняють початкові умови (2.10).
Враховуючи співвідношення (2.10) та аналітичність за змінною в околі , , функцій , , отримаємо:
Оскільки , , є розв'язками системи рівнянь (2.13), і, враховуючи матричну рівність , отримаємо:
Отже, формула (3.5)((3.6)) справді визначає формальний розв'язок задачі (3.1), (3.4).
Переконаємось, що вирази, які містяться у фігурних дужках формул (3.5), (3.6), є аналітичними стосовно параметрів . Для цього покажемо, що матриця
, (3.7)
є розв'язком такої задачі Коші:
(3.8)
Справді,
Використовуючи рівності (2.10) та неперервність елементів матриці в околі , отримаємо:
За теоремою Пуанкаре [1,76] про аналітичну залежність розв'язку задачі Коші від параметрів маємо, що елементи матриці вигляду (3.7) як розв'язки задачі (3.8) є цілими функціями стосовно , оскільки та , , як будо зазначено вище, є цілими функціями параметрів , а є цілою функцією параметра .
Формальний розв'язок задачі (3.1), (3.2), використовуючи співвідношення (3.3) та формули (2.11)((2.12)), (3.5)((3.6)), можна записати у такому вигляді:
,
(3.9)
або, розписавши покомпонентно
, . (3.10)

3.2. Побудова розв'язку задачі з використанням мінімального многочлена системи.
Припустимо, що для матриці існує мінімальний многочлен () та зведена приєднана матриця .
Оскільки
то можна дещо змінити формулу (3.5). В цьому випадку
, (3.11)
де елементи матриць визначаються формулами (2.22), (2.23).
Розписавши покомпонентно (3.11), отримаємо:
, . (3.12)
Аналогічно до міркувань підпункту 2.1 можна показати, що за теоремою Пуанкаре [1,76] про аналітичну залежність розв'язку задачі Коші від параметрів елементи матриці
, (3.13)
як розв'язки задачі Коші
(3.14).
є цілими функціями стосовно , оскільки , , як будо зазначено вище, є цілими функціями параметрів , а є цілою функцією параметра .
У цьому випадку розв'язок задачі (3.1), (3.2) можна записати таким чином:
(3.15)
або, розписавши покомпонентно
, . (3.16)
3.3. Класи однозначної розв'язності задачі.
У підрозділі 2.3 було показано, що функції та як розв'язки задач Коші (2.6), (2.7) та (2.18), (2.19) відповідно є цілими функціями параметрів . Порядок цих функцій за сукупністю параметрів не перевищує числа, яке обчислюється за формулами (2.25), (2.26).
Теорема 3.1. Нехай , є довільними диференціальними виразами зі сталими коефіцієнтами та цілими в символами . Нехай, крім того, функції , є аналітичними на і для кожного фіксованого належать до класу , де індекс визначений рівностями (2.25), (2.26). Тоді у класі вектор-функцій, компоненти яких , для фіксованого належать до , існує єдиний розв'язок задачі (3.1), (3.4), який можна подати у вигляді (3.9)((3.10)), (3.11)((3.12)).
Доведення. У доведенні теореми 2.1 було показано, що функції та функції вигляду (2.8), (2.9) та (2.22), (2.23) відповідно є цілими, причому порядку функціями за сукупністю параметрів .
Для аналітичних на функцій , які для фіксованого належать до класу , визначимо диференціальні вирази через відповідні ряди Маклорена формально замінюючи на , на . Дії диференціальних виразів безмежного порядку на функції, які містяться в фігурних дужках формул (3.10), (3.12), будуть визначені коректно, якщо для кожного фіксованого , [50]. Результат дії на ці функції для фіксованого належить теж до [50].
Розв'язок задачі (3.1), (3.4) вигляду (3.10), (3.12) допускає скінченного порядку диференціювання за змінною і визначеного системою (3.1) порядку диференціювання за змінними . Дії диференціальних виразів на відповідні продиференційовані за змінною вирази при цьому визначені коректно, оскільки функції та після диференціювання за є знову цілими стосовно функціями порядку не вище за сукупністю змінних.
Отже, клас вектор-функцій, компоненти яких для кожного фіксованого належать до , є класом існування розв'язку задачі (3.1), (3.4).
Заміною (2.16) зводимо систему рівнянь (3.1) до системи рівнянь першого порядку за часом
(3.17)
Очевидно, що системи рівнянь (2.1) та (2.29) є еквівалентними і їх зведені порядки збігаються.
На підставі умов (3.4) отримуємо умови
(3.18)
Використовуючи відомий клас єдиності, виділений у [22] для задачі (3.17), (3.18) і переносячи результати для задачі (3.1), (3.4), отримаємо, що клас вектор-функцій, компоненти якого для кожного фіксованого належать до , є одночасно і класом єдиності розв'язку цієї задачі.
3.4. Приклади.
Приклад 3.4.1.
Розглянемо в області задачу Коші для системи рівнянь
(3.19)
з початковими умовами
. (3.20)
У цьому випадку
, , ,
,
У підрозділі 2.5.1 було обчислено:
, ,
; ; ; ; ; ;
; .
Елементи матриці за формулою (3.7) можна записати таким чином:
;
.
Тоді розв'язком задачі (3.19), (3.20) буде вектор-функція, компоненти якої записуються у такому вигляді:

. (3.21)
Функція вигляду (2.34) є цілою функцією параметра не вище першого порядку.
Твердження 3.1. Нехай функції , є аналітичними на і для фіксованого належать до класу . Тоді у класі вектор-функцій, компоненти яких , для фіксованого належать до , існує єдиний розв'