Вы здесь

Оцінка жорсткості та деформативності дерев'яних балок з урахуванням зсувних депланацій перерізів

Автор: 
Муравльов Володимир Вячеславович
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2004
Артикул:
0404U001878
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

РОЗДІЛ 2 ТЕОРЕТИЧНІ ДОСЛІДЖЕННЯ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ ДЕРЕВ'ЯНИХ БАЛОК З ВРАХУВАННЯМ ЗСУВНИХ ДЕФОРМАЦІЙ

При визначення параметрів напружено-деформованого стану (НДС) балочних елементів будівельних та інших конструкцій з неоднорідною будовою поперечного перерізу, виготовлених з матеріалів, що мають властивості трансверсальної ізотропії до яких відноситься деревина, а особливо для таких елементів як балки, у яких відношення довжини до висоти перерізу менше двадцяти, є неправомірною гіпотеза недеформованих перерізів, на якій побудована класична (технічна) теорія розрахунку. Причиною цього, насамперед є фактори які впливають на розподіл деформацій внаслідок дії поперечних зсувів, яких класична теорія не враховує і які спричинюють депланацію поперечних перерізів. У цьому розділі будуть отримані співвідношення для визначення параметрів НДС дерев'яних балок, що враховують депланацію поперечних перерізів.

2.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
При визначенні деформованого стану елементів будівельних конструкцій розглядаються балки постійної та змінної за довжиною жорсткості. Якщо для конструкції постійної жорсткості накопичений досвід побудови уточнених (некласичних моделей), які враховують поперечні зсуви, то для конструкцій зі змінною жорсткістю (арочні, одно, двоскатні балки, ферми з деревини, залізобетону та інших матеріалів) не в повній мірі вирішені питання впливу деформацій зсуву на їх роботу та напружено-деформований стан. Рішення системи диференціальних рівнянь рівноваги балки також буде відрізнятися від аналогічної системи для балок (елементів) постійної жорсткості. В зв'язку з цим набуває актуальності побудова методики розрахунку для балок з перемінної жорсткістю за довжиною як для традиційних матеріалів так і для матеріалів анізотропних (транстропних) неоднорідність яких виявляє себе у формах поперечного перерізу та у структурі. Уже сама будова балок змінної за довжиною жорсткості веде до виникнення при завантаженні балок, окрім нормального навантаження ще й дотичного, вплив якого досить суттєвий, що в класичній теорії розрахунку не враховується.
Геометричні та фізико-механічні характеристики. Розглянемо балку із неоднорідною шаруватою будовою поперечного перерізу (рис.2.1). Структура перерізів може змінюватися за довжиною балки. Балку віднесемо до лівої координатної системи. Розташування початку координат по висоті перерізу може бути довільним. Нехай у балці є включення - шари матеріалу, що відрізняються фізико-механічними властивостями і пов'язані нерозривністю переміщень на границях.

Рис.2.1. Загальний вигляд балки
Змоделюємо переріз балки, для простоти розв'язку, таким чином, щоб на рівні довільної координати z його структуру утворювали тільки прямокутні ділянки. Границі ділянки визначаються геометричними параметрами - координатами крайніх лівої й правої, нижньої й верхньої граней включення (, , , ), а властивості матеріалу - модулями пружності першого та другого роду (, ). Загальна кількість ділянок (шарів) дорівнює п.
Рис.2.2. "Прямокутна "модель балки
Розглянемо співвідношення теорії пружності. Спочатку визначимо параметри НДС, які відповідають гіпотезі плоских недеформованих перерізів - тобто класичній моделі розрахунку. Розглянемо балку з перемінною за довжиною жорсткістю (зі змінною висотою поперечних перерізів залежно від координати ). Висота перерізу може змінюватися за довільною функцією координати . Розташування початку координат співпадає з нижньою точкою перерізу, загалом, його розташування може бути довільним. Модулі зсуву поперек волокон в усіх напрямках приймаємо однаковими для матеріалу окремих шарів в силу прийнятої трансверсально-ізотропної моделі анізотропії.
Рис.2.3. Фрагмент балки
Розглянемо НДС елементарного об'єму балки (рис.2.3), позначивши напрямки дії нормальних та дотичних напружень (рис.2.4)
Рис.2.4. Компоненти тензора напружень на елементарній площадці
Рис.2.5. Вертикальний переріз
балки

Вважаємо напружено-деформований стан плоским лінійним. При цьому, згідно до принципу Сен-Венана, приймаємо, що поздовжні (уздовж осі X) волокна не створюють одне на одне поперечного тиску і не збурюють у поперечному перерізі зсувних зусиль. Це означає що:
, , .
Рівняння закону Гука будуть такими:

Далі індекс для запису напружень і деформацій опускаємо.
Рівняння Коші мають вигляд:
;
Використовуючи рис.2.4 та рис.2.5 запишемо для елементарної площадки рівняння рівноваги на вісь :

Після спрощення воно отримає такий вид:
.
Остаточно маємо для елементарного об'єму:

Далі виконаємо наступні математичні перетворення - домножимо частині рівняння на

Проінтегрувавши ліву та праву частини цього виразу, одержимо:
,
де - функція інтегрування.
Визначимо , із умови, що дотичні напруження в нижніх точках перерізу дорівнюють зовнішньому навантаженню .
, перший доданок у цьому виразі дорівнює нулю. Таким чином . Отже дотичні напруження дорівнюють
.
Зважаючи, що дотичні напруження вздовж лінії залишаються постійними перейдемо до співвідношень для бруса загалом, тобто враховуємо координату .
.
Звідки
де - координата крайньої лівої точки перерізу; - координата крайньої правої точки перерізу на рівні координати; zн - найнижча точка перерізу;- ширина балки на рівні координати . Тоді маємо:
,
де - частина площини перерізу
Для визначення застосуємо закон Гука:

Зважаючи на те, що , вертикальні переміщення постійні за висотою і рівні переміщенням горизонтальної координатної площини, тобто .
Кутові деформації відповідно до (2.3) мають вигляд:

або
.
Звідси отримуємо
.
Похідна від прогину - кут повороту нормалі (або дотичної) до нижньої поверхні при згині балки - стала вздовж осі . Перехід до звичайної похі