Вы здесь

Точність наближення розподілів сум незалежних випадкових величин

Автор: 
Поляк Іван Йосопович
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2004
Артикул:
0404U003525
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

розділ 2.2), (враховуємо, що , тому )
Із (2.20)
Враховуючи , що при (аналогічно [64])
, одержуємо справедливість теореми.
Нехай , .
Теорема 3.2.
Якщо випадкові величини - незалежні однаково розподілені і то для всіх
де - абсолютна стала, .
Доведення .
У випадку теорема правильна, тому будемо вважати, що .
Нехай
Будемо вважати, що для всіх бо у випадку
. В нерівності (3.2) покладемо
Нехай , .
Із леми 2 та нерівностей (2.41), при
Якщо ж то із (2.41) одержуємо ,
де визначено на ст. 57.
Iз оцінок інтегралів одержуємо справедливість теореми.
3.2. Швидкість збіжності в рівномірній метриці для характеристичних функцій

Нехай - послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин з характеристичною функцією , , N- випадкова величина із функцією розподілу Ф(х). Розглянемо рівномірну метрику для характеристичних функцій ([8] , стр.33)
Теорема 3.3.
Нехай
1. - деяке число; ;
2. виконується умова (2.1);
3.- додатня величина, для якої при будь-яких справедлива нерівність
Тоді при
де ,
Доведення.
У випадку теорема правильна, тому будемо вважати, що .
Використовуючи визначення в умові теореми, одержимо
, (3.5)
де , .
Із нерівності (2.48) одержуємо для n>1
. (3.6)
. (3.7)
Тоді , в умовах теореми , використовуючи (2.18) одержимо
(3.8)
При .
При
А, отже,
(3.9)
Із (3.5)-(3.9) одержуємо справедливість теореми.
3.3. Швидкість збіжності в рівномірно квадратичній метриці
Рівномірно квадратична метрика , для довільних випадкових величин Х і У визначається співвідношенням ([8],ст.42)
(3.10)
Теорема 3.4.
Нехай незалежні однаково розподілені випадкові величини з ,виконується умова (2.1).
Тоді при
,
де
- сталі, що залежать тільки від с, визначено на ст.28-29.
Доведення. У випадку теорема правильна, тому будемо вважати, що .
Використаємо вираження в термінах характеристичних функцій ([8],ст.128)
Тоді
(3.11)
де - визначено на ст.28.
Із (2.41) одержимо при ( а при )
,
а при із (2.39) маємо
Якщо , то із леми 2 при
А якщо , то і .
Із оцінок інтегралів при для всіх , і при для одержуємо
Розглянемо випадок і тобто випадок і .
Враховуючи співвідношення між рівномірно квадратичною і рівномірними метриками ([8],ст.128)
одержуємо при і
Із теореми 3.2 і нерівності для всіх одержуємо
Теорема доведена.
Аналогічно доводиться наступна
Теорема 3.5.
Нехай незалежні однаково розподілені випадкові величини з функцією розподілу , ,виконується умова (2.1) та .
Тоді при
де , ,стала, що залежить тільки від с.
3.4. Швидкість збіжності до нормального закону (випадок різнорозподілених випадкових величин)
Нехай - послідовність незалежних випадкових величин з , функцією розподілу (ф.р.) , характеристичною функцією (х.ф.) - ф.р. стандартного нормального закону, - ф.р. випадкової величини
,
, >0,,
, ,

,.
Теорема 3.6.
Нехай існує додатня величина ,для якої при деякому для всіх t виконується нерівність
. (3.12)
Тоді існує числова стала А(s ) така , що при
(3.13)
де
Зауважимо , що в [ 64 ] для випадку n=1 доведено нерівності
(3.14)
(3.15)
Нехай

Тоді для всіх t мають місце нерівності
(3.16)
(3.17)
(3.18)
Покладаючи в теоремі s = 3, s = 0, , із (3.12), (3.14)-(3.18) одержуємо такий
Наслідок.
Для всіх справедливі нерівності
, (3.19)
, (3.20)
(3.21)
де деякі числові сталі.
Із (3.19)-(3.21) випливають результати роботи [64].
Доведення теореми.
Нехай . Використаємо нерівності (перша із [8],ст.377)
(3.22)
(3.23)
(3.24)
В (3.22) покладемо деяка стала, вибір якої буде відзначено пізніше;
Hехай . Очевидно ([64]),
(3.25)
Тоді при
а при
Тому із (3.25) одержуємо
(3.26)

(3.27)
Нехай
Тоді при
= , (3.28)
а при
Враховуючи, що ,а в цьому випадку
, тому
або .
Отже, при
. (3.29)
Нехай , тоді при
(3.30)
Отже, із (3.27) - (3.30 ), при
(3.31)
де при цьому , вибирається таким, що
Нехай
Враховуючи (3.26) і нерівності
при одержуємо
( 3.32 )
Переходимо до оцінки інтеграла в ( 3.22 ):
. (3.33)
Із нерівностей (3.23) і (3.32) при
Якщо , то а
. (3.34)
Якщо , то для одержимо оцінку (3.34). Для оцінки використаємо нерівність (3.24), у якій добуток оцінимо, після використання (3.26), при аналогічно (3.32) :
Тоді при
. (3.35)
У відповідності до (3.35), представимо у вигляді
(3.36)
Тоді
(3.37)
і , аналогічно [ 64 ], із використанням нерівності , одержуємо
. (3.38)
Із (3.36) - (3.38) ви