Вы здесь

Визначення контактної границі за значеннями похідних логарифмічного потенціалу на істотно обмежених множинах

Автор: 
Дубовенко Юрій Іванович
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2005
Артикул:
3405U000578
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

РОЗДІЛ 2
МЕТОДИКА РОЗВ’ЯЗАННЯ ЛІНЕАРИЗОВАНОЇ ЗАДАЧІ
ЗА ПОЛЕМ, ЗАДАНИМ НА НЕОБМЕЖЕНІЙ МНОЖИНІ
Наведено ітераційні процеси для розв’язку лінійного інтегрального рівняння з
ядром Пуассо­на, та його узагальненого аналогу, незалежного від апріорі
невідомого параметра h. Дослідже­но характеристики їх збіжності на класі
Нумерова. Поліпшено алгоритми уточнень нумерів­ського наближення контакту та
наведено схему екстраполяції поля за межі профілю.
У першому розділі отримано ряд лінійних інтегральних рівнянь 1-го роду для
визначення контакту і . Перед нами постають питання їх розв’я­зності, тобто
вивчення умов єдиності, існування і стійкості розв’язків. Для рів­нянь
(1.231)-(1.44) їх буде розглянуто уперше, а для рівняння (1.232) цю пробле­му
розглянуто в [4, 51], причому Б.О. Андреєв запропонував для розв’язку рів­няння
спосіб послідовних наближень, М.М. Лаврентьєв обґрунтував його не ли­ше для
рівняння (1.232), а і для інших видів операторних рівнянь 1-го роду, а В. М.
Страхов [102] використав цей спосіб для знаходження розв’язку рівняння,
аналогічного (1.39). Однак лишилось відкритим питання співвідношення
швид­костей збіжності і точності послідовних наближень розв’язку кожного з
рівнянь (1.232) і (1.39) та деякі інші властивості. Практична значущість цих
досліджень полягає у тому, що точність обчислення контактних границь залежить
не ли­ше від похибок функції , а й від довжини інтервалу її задання.
Рис. 2.1. Необхідна довжина профілю
Щоб оцінити необхід­ну для відновлення аномального контак­ту з гарантованою
то­чністю довжину про­філю, скористаймось простим емпіричним прийомом: поле на
ді­лянці змоде­люємо впливом прямокутника потужністю , апріорі більшим за ефект
до­сліджуваного контакту; обчисливши із розв’язку прямої задачі, на якій
віддалі від цього прямокутника його аномальний ефект стане меншим заданої
точності e, отримаємо бажану величину l. Для отримання значень поля з
достатньою то­чністю слід обчислювати його на досить довгих профілях. При
вирішенні даної контактної задачі не враховуємо крайові ефекти, але нескладний
чисельний екс­перимент (обчислення трьох членів розкладу (1.4) в ряд для поля
вертикального циліндра з відношенням його радіуса до висоти ) доводить, що
подов­ження профілю на у кожен бік і фіксації кожної сублінійної ділянки
границі 2-3 точками достатньо для отримання розв’язку із задовільною точніс­тю
в 4.3%.
Аналіз існування розв’язку рівняння (1.10) на основі властивостей функ­цій ,
заданих у необмеженій смузі:
,
завершився [142, 94, c. 57] збудованим на компакті процесом послі­довних
наближень
, ,
що збігаються зі швидкістю геометричної прогресії із знаменником . О. О. Шванк
[157, с. 373] запропонував еквівалентний [1 Строге обґрунтування їх
еквівалентності наведено в [87, с. 61].] ітераційний процес
де ефект n-го наближення; його збіжність не доведено строго, а лише ок­реслено
на чисельних прикладах.

2.1. Спосіб Нумерова розв’язання контактної задачі
Найперший спосіб отримання наближеного розв’язку нелінійного інтегрального
рівняння (1.10) базується на припущенні про належність його роз­в’язку до
певного класу, формалізованого множиною . Такий стан речей дав змогу
лінеаризувати рівняння (1.10) з точністю до сталої [58, c. 51] до вигляду [2 В
якому перша складова виражає потенціал тяжіння мас, розміщених в областях
ундуляції кривої контакту відносно дея­кої лінії середньої глибини h, а друга
потенціал від горизонтального плоскопаралельного шару над цією лінією.]
де аномалія поля в деякій фіксованій точці , у якій апріорі відомо гли­бину до
контактної поверхні, а припущення про те, що контактну гра­ницю у першому
наближенні можна замінити функцією, яка описує відповідним чином каліброване
поле , дозволило подати друге і остаточне наближення границі у такому вигляді,
який визначає розв’язок як аналітичне продов­ження напруженості поля в бік
тяжіючих мас на середню глибину h шукано­го контакту:
(2.11)
аналогічне міркування справедливе для узагальненого виразу (1.15)
(2.12)
де . На основі такого тлумачення лінеаризації (зауваження 1.7) це наближення
можна подати у еквівалентному вигляді ; отже, для його знаходження досить
обчислити значення середньої глибини при додаткових вимогах з підмножини В2.
Зауваження 2.1. До речі, таке трактування дозволяє означити головні
власти­вості розв`язку неперервність і гладкість функцій контакту. Інтеграл
Пуассона че­рез неперервність свого ядра однозначно переводить будь-яку
кусково-неперервну функцію в неперервну, тоді як обернена задача відновлення
неперервної функції із кусково-неперервної неоднозначна. Через це при
визначенні контактної поверхні (як­що окремо не задано розмір і характер
розриву неперервності), звичайно, обмежують­ся неперервними і гладкими
розв`язками.
Наближення прийнято вважати остаточним, хоча ще в [58, с. 54] ві­дзначено його
низьку точність. Відзначмо, що інтегральний вираз (2.11) в трак­товці Нумерова
залишився нерегуляризованим, в силу чого справедливий лише для шару, верхньою
границею якого є поверхня спостережень. Для загального випадку, властивого
нашій постановці, його слід уточнити.
Наведемо відповідні міркування. Нехай вертикальна складова на­пруженості поля
, а глибину контакту задано не в точці , а в деякій ін­шій точці . Запишімо,
виходячи із співвідношення (1.232) різницевий ви­раз
і визначмо граничні при значення і , відповідно, знизу (при ) і зверху (при );
отримаємо в підсумку
позаяк відокремлено від нуля, інакше в дужці { був би третій член. Інте­грали в
дужках розуміємо в смислі головного значення, враховуючи