Вы здесь

Геометричні моделі для процедур барицентричного усереднення.

Автор: 
Цибуленко Ольга Володимирівна
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2005
Артикул:
3405U000994
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

РОЗДІЛ 2
ГЕОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ ДИСКРЕТНИХ МЕТОДІВ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ВІДНОВЛЕННЯ ГАРМОНІЧНИХ
ФУНКЦІЙ
2.1. Відновлення гармонічних функцій
Задача відновлення функції виникає в багатьох прикладних галузях науки. Зміст
задачі відновлення в тому, що, знаючи функцію на деякій множині точок
(найчастіше дискретній множині ), необхідно розробити алгоритм побудови функції
(або значень функції) на більш широкій множині точок.
Найбільший інтерес представляє відновлення гармонічної функції. За
диференціальним критерієм – це функція, неперервна в заданій області D разом зі
своїми частинними похідними першого та другого порядку і є розв'язком рівняння
Лапласа. Для двовимірного випадку гармонічна функція є розв'язком наступного
рівняння:
(2.1)
При розв'язанні прикладних задач рівняння Лапласа завжди доповнюється
граничними умовами. Вони можуть бути декількох типів:
І роду (Діріхлє):
(2.2)
ІІ роду (Неймана):
(2.3)
де – зовнішня нормаль до границі.
Поряд з цим визначенням існує й інший критерій гармонічності функції [35]. За
теоремою про середнє для гармонічних функцій вимоги неперервності і, навіть,
наявності похідних не є апріорі необхідними [77].
Теорема (Привалова – Кьобе). Неперервна функція в області D є гармонічно тоді і
тільки тоді, коли в будь-якій точці D, починаючи з достатньо малого радіуса r,
виконується властивість середнього, тобто:
(2.4)
де – коло, що належить D, з радіусом r та центром в точці ;
– довжина кола .
Середнє по площі круга з радіусом r також дорівнює значенню гармонічної функції
в центрі. Для тривимірного інтегрального критерію гармонічності функції від
трьох змінних розглядається середнє по площі сфери або по об'єму кулі
відповідно [55].
Саме на цьому критерії і побудована більшість наближених методів відновлення
гармонічних функцій.
Відомо, що відповідною заміною шуканої функції до рівняння Лапласа можна звести
рівняння Пуассона [117]:
; .
; .
Круг фізичних задач, що описуються цими рівняннями, достатньо великий:
теплопровідність (стаціонарний випадок), розподіл електричного (або магнітного)
потенціалу, кручення призматичних стержнів, потенціальний рух нестисливої
рідини та інші [3]. Всі ці перелічені задачі об'єднуються моделлю мильної
плівки, яка постійно привертає до себе увагу дослідників, наприклад, геометрів
[121]. Така аналогія забезпечує можливість експериментальної перевірки
математичних моделей.
2.2. Детерміновані методи відновлення гармонічних функцій
2.2.1. Метод скінченних різниць
МСР історично з'явився першим як наближений метод розв'язання диференціальних
рівнянь з частинними похідними. Задача зводиться до побудови системи лінійних
алгебраїчних рівнянь (СЛАР) за допомогою апроксимації частинних похідних
скінченно-різницевими аналогами в кожному вузлі сітки, що покриває досліджувану
область [25, 65, 72]. Тому цей метод має другу назву – метод сіток. Поява
методу завдячує роботі Річардсона у 1910 р. В цьому напрямку слід також
відмітити фундаментальні роботи Н.С. Бахвалова, Е.А. Волкова, М.К. Гавурина,
С.К. Годунова, А.А. Дородніцина, О.О. Ладиженської, Л.А. Люстерника, І.Н.
Молчанова, В.С. Рябенького, О.А. Самарського, С.Л. Соболєва, А.Н. Тіхонова,
Н.Н. Яненко, Р. Куранта, П. Лакса, Г. Леві, В. Вазова, Дж. Форсайта,
К. Фрідріхса та інших.
В загальному випадку розмірність області, в якій необхідно знайти розв'язок
ДРЧП, дорівнює числу незалежних змінних. У випадку (2.1) двох незалежних
змінних та досліджувана область двовимірна. На першому етапі розв'язку згідно з
характером розв'язуваної задачі, типом крайових умов та геометрії досліджуваної
області вибирають сітку вузлових точок. Першими почали застосовувати сітки з
квадратними та прямокутними комірками. Нехай досліджувана область покрита
сіткою з квадратними комірками з шагом . Геометричний спосіб покриття показано
на рис. 2.1.
Розглянемо задачу (2.1) – (2.2). Припустимо на деякий час, що шукана функція
аналітична. В сусідніх вузлах до деякого внутрішнього вузла в обох напрямках по
розкладемо її в ряд Тейлора за формулою:
. (2.5)
Рис. 2.1 Сіткова дискретизація області з границею Г
– внутрішні вузли; – граничні вузли
Якщо формулу (2.5) обірвати на третьому члену, то з суми і отримаємо центральну
скінченно-різницеву апроксимацію другої похідної по для функції :
. (2.6)
Центральна скінченно-різницева апроксимація для другої похідної по знаходиться
аналогічно:
. (2.7)
Замінюючи похідні (2.6) і (2.7) в лапласіані (2.1) отримаємо
, (2.8)
де похибка такої заміни має порядок .
З (2.8) маємо, що диференціальному рівнянню (2.1) відповідає наступне рівняння
в скінченних різницях, яке має вигляд арифметичного середнього чотирьох
значень:
.(2.9)
Сукупність вузлів, які залучаються до заміни (2.1) в будь-якому внутрішньому
вузлі різницевою схемою, називають шаблоном. Геометрична схема
скінченно-різницевого п'ятиточкового шаблону (2.8) показана на рис. 2.2а.
Відмітимо, що двовимірний шаблон будується суперпозицією двох одновимірних: по
(2.6) та по (2.7).
а) б)
Рис. 2.2. Шаблони МСР для рівномірної сітки
Використовуються й інші шаблони [9, 39, 40, 48] в залежності як від типу умов
задачі, так і від геометрії області. Шаблон для задачі (2.1)–(2.2) у випадку
рівномірної трикутної сітки показаний на рис. 2.2б; шаблон для задачі
(2.1)–(2.2), що застосовується у випадку нерівномірної ортогональної сітки або
для апроксимації поблизу границі – на рис. 2.3. Барицентрична інтерпретація
коефіцієнтів шаблонів показує, які маси треба помістити у вузли шаблону, щоб
центр ваги був в контрольній точці.
Рис. 2.3. Шаблон МСР для нерівномірної ортогональної сітки
Складемо систему рівнянь (2.9) для всіх