Вы здесь

Розрахункові моделі хвилезахисних та берегоукріпних споруд морського узбережжя та водосховищ

Автор: 
Федорова Катерина Юріївна
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2005
Артикул:
3405U002426
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

РАЗДЕЛ 2
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Предполагается, что сооружение и взаимодействующая с ним грунтовая среда
образуют единую связанную систему. Действующая на нее объемная и поверхностная
нагрузка разбивается на приращений:
(2.1)
Под действием указанной нагрузки в системе возникают напряжения и деформации ,
которые можно представить в виде:
(2.2)
После действия на систему -го приращения нагрузки в ней возникают следующие
напряжения и деформации:
(2.3)
где .
Система состоит из непрерывной совокупности материальных частиц, каждая из
которых характеризуется своим положением в прямоугольной системе координат .
Напряжения и деформации, определенные в каждой частице после -го приращения
нагрузки, характеризуют напряженно-деформированное состояние системы.
Для сокращения записи используется индексное обозначение. Повторяющийся индекс
в одночленном выражении означает суммирование от 1 до 3. При дифференцировании
функций по координатам вводятся следующие обозначения: .
2.1. Напряжения и деформации
Тензор напряжений представляется в компонентной форме координатной системы
как
, (2.4)
где при ,
- единичные векторы координатных осей.
Первый индекс при обозначает площадку с нормалью, параллельной оси , а второй
– направление оси , на которую проектируется напряжение.
Вводится шестимерное пространство , в котором координаты точки равны
компонентам тензора . Три компоненты при в связи с симметрией исключаются.
Каждому значению тензора в пространстве соответствует вектор , компоненты
которого образуют матрицу столбец
. (2.5)
Тензор напряжений можно представить в виде суммы девиатора напряжений и
шарового тензора
, (2.6)
где - символ Кронекера,
- компонент девиатора напряжений.
Величина называется средним нормальным напряжением:
. (2.7)
Вводятся следующие базисные инварианты тензора напряжений и девиатора
напряжений:
(2.8)
(2.9)
Комбинируя базисные инварианты, можно получить новую систему из трех
независимых инвариантов [118], которые будут часто использоваться в последующем
изложении:
(2.10)
Эти инварианты имеют ясный физический смысл. Так, первый инвариант
характеризует среднее нормальное напряжение. Второй инвариант представляет
интенсивность касательных напряжений и он с точностью до постоянного множителя
совпадает со средним касательным напряжением . Третий инвариант определяет вид
напряженного состояния.
Через инварианты (2.10) главные напряжения определяются при условии по
следующим формулам:
(2.11)
Тензор деформаций записывается в компонентной форме в виде
, (2.12)
где при , т.е. этот тензор также симметричный.
По аналогии с пространством вводится пространство деформаций и определяется
вектор как
. (2.13)
Тензор деформаций также представляется в виде суммы девиатора деформации и
шарового тензора
(2.14)
где
(2.15)
Базисные инварианты тензора деформаций и девиатора деформаций записываются в
виде:
(2.16)
(2.17)
По аналогии с (2.10) определяются следующие три независимых инварианта:
(2.18)
Главные деформации определяются через (2.18) при условии по формулам:
(2.19)
Аналогичным образом вводится тензор приращения напряжений, тензор приращения
деформаций и все последующие указанные выше определения и равенства.
2.2. Статические и кинематические уравнения
Пусть при (j-1)-м приращении нагрузок и система находится в равновесии.
Придадим этим нагрузкам дополнительные приращения и . Под действием сил и
система также придет в равновесное состояние и в ней возникнут напряжения и
деформации . В этом случае принцип виртуальной работы можно записать в виде
[119]
(2.20)
Здесь - виртуальные деформации;
- виртуальные перемещения;
- объем, занимаемый системой;
- поверхность, ограничивающая ;
- часть поверхности, на которой задана нагрузка ;
- часть поверхности, на которой заданы перемещения
,
где - вектор заданных перемещений.
Интегрируя первое слагаемое в объемном интеграле из (2.20) по частям, после
преобразований окончательно находим
(2.21)
где - проекция нормали элементарной площадки поверхности на координатную ось .
Так как виртуальное перемещение не равно нулю, то из (2.21) получаем:
уравнения равновесия:
, (2.22)
; (2.23)
статические уравнения равновесия на поверхности :
, (2.24)
. (2.25)
Если система под действием нагрузок и находится в равновесии и все входящие в
(2.21) величины с индексами вычислены точно, то первые выражения в круглых
скобках обоих интегралов обращаются в нуль и под интегралами остаются только
выражения во вторых круглых скобках. Однако, как будет показано далее, при
приближенном решении рассматриваемых задач будет использоваться полностью
соотношение (2.21), составляющие которого вычисляются с различными
погрешностями. Поэтому все величины с индексами следует оставить для улучшения
коррекции равновесного состояния системы.
Объединяя (2.22) с (2.23) и (2.24) с (2.25), для -го приращения нагрузок
получаем следующие уравнения равновесия:
, (2.26)
. (2.27)
В процессе деформирования системы ее частицы получают перемещения.
Предполагается, что деформации происходят при малых удлинениях, сдвигах и углах
поворота. В этом случае перемещения и деформации и их приращения после действия
-го приращения нагрузки связаны между собой линейными соотношениями Коши
[118]:
, (2.28)
(2.29)
При деформировании в системе могут возникать как упругие, так и пластические
деформации.