Вы здесь

Геометричне моделювання рельєфу поля для системи точного землеробства.

Автор: 
Хименко Ірина Юріївна
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2005
Артикул:
3405U002915
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

РОЗДІЛ 2
МОДЕЛЮВАННЯ ПЛОСКИХ ТА ПРОСТОРОВИХ КРИВИХ
ЛІНІЙ ЗА ЗАДАНИМ ТОЧКОВИМ РЯДОМ
При русі сільськогосподарського агрегату по полю, обладнаного системою супутникової навігації і бортовим комп'ютером, можна визначити його місцезнаходження з інтервалом в одну секунду. Географічні координати місцезнаходження агрегату через певні коефіцієнти для даної місцевості переховуються у прямокутні. Отже, при русі агрегату по полю буде записаний числовий масив координат окремих точок траєкторії з приблизно однаковою відстанню між ними. Якщо поле рівне, то можна допустити, що траєкторіями руху будуть плоскі криві або прямі лінії. Якщо ж воно має змінну висоту над рівнем моря, то траєкторіями будуть просторові криві або плоскі (в тому випадку, коли траєкторія руху агрегату знаходиться у вертикальній площині). Таким чином виникає задача моделювання траєкторії руху агрегату за відомим точковим рядом.

2.1. Дослідження і вибір складових функцій для побудови інтерполяційної кривої як суми їх графіків
Найбільш близькими працями до досліджень даного розділу є праці Ю.В. Сидоренко [80 - 82]. Вона в якості складових функцій для утворення плоских інтерполяційних кривих взяла графіки кривих нормального розподілу Гаусса. Вони мають дзвоноподібний вигляд і в порівнянні із поліномами сумарна крива їх графіків менш схильна до осциляції в силу причин, зазначених раніше. Ця позитивна особливість наглядно показана в роботі [82].
Нами було вивчено поведінку графіків також інших дзвоноподібних кривих при різних значеннях сталої а перед аргументом функції (рис. 2.1.).
а б в
Рис. 2.1. Функції із дзвоноподібними графіками при різних значеннях а :
а) графік функції Гаусса y=exp(-ax2);
б) графік гіперболічного секанса y=sech(ax);
в) графік дробово-раціональної функції y=1/(1+ax2).

Серед побудованих графіків при а=1 функція Гаусса для великих значень х найбільш щільно наближається до осі абсцис, чим решта кривих. Щоб краще зрозуміти, чому сумарна крива таких графіків менше схильна до осциляції (по відношенню до інших кривих), розглянемо криву, що є сумою двох функцій Гаусса, зміщених вздовж осі Ох на певну величину h. Рівняння сумарної функції має вигляд:
(2.1)
де с1, с2 - сталі величини, що задають максимальне значення координати у вершини кожної складової.
Графіки функцій у1, у2 та у показані на рис. 2.2.
На рис. 2.2 показано додавання ординат функцій у1 і у2 при х = 0,8 та одержання сумарної ординати. З рисунка також видно, що при x > 3 i x

Рис. 2.2. Графіки складових функцій Гаусса при а = 1; с1 = 1; с1 = 1,5;
h= 0,5 та їх сумарний графік.

Враховуючи механізм утворення сумарної кривої, представлений на рис. 2.2, можна припустити, що дзвоноподібні графіки однакової висоти, зміщені вздовж осі Ох на сталий крок h, дадуть в сумі синусоїдну криву. На рис. 2.3 побудовані такі криві для функцій Гаусса і гіперболічного секанса при коефіцієнті а = 1 і рівних інших умовах.
а б
Рис. 2.3. Сумарна крива функцій із дзвоноподібними графіками, зміщеними на однаковий інтервал (при а=1):
а) для функції Гаусса; б) для функції гіперболічного секанса.
Як видно із рис. 2.3, амплітуда сумарної синусоїдної кривої більша для суми функцій Гаусса. Це пояснюється, тим, що серед графіків дзвоноподібних функцій, представлених на рис. 2.1, саме графіки функцій Гаусса найбільш швидко і найбільш щільно наближаються до осі абсцис при зміні параметра x. Змінюючи інтервал зміщення складових графіків, можна добитися такого положення, при якому ділянка сумарної лінії виглядає майже ідеальною прямою, паралельною осі абсцис (рис. 2.4).

а б

Рис. 2.4. Сумарні графіки складових дзвоноподібних кривих, зміщених на крок h=1:
а) складові - графіки функції Гаусса y=exp(-x2);
б) складові - графіки гіперболічного секанса y=sech(x).

Перевіримо, чи можна додаванням графіків секанса гіперболічного добитися прямолінійної ділянки, яка буде не паралельною до осі абсцис. Для цього зробимо рівномірне зміщення графіків вздовж осі абсцис, у яких висота змінюється по лінійному закону.

а б
в
Рис. 2.5. Графіки суми функції гіперболічного секанса із різним кроком зміщення:
а) h=3; б) h=2; в) h=1.

На рис. 2.5 показані сумарні криві із різним кроком зміщення. Зокрема при інтервалі h =1 ділянка сумарної кривої виглядає прямою лінією, нахиленою під певним кутом до осі абсцис. Якщо перейти до параметричного задання кривої - суми функцій x=sech(аt); y=sech(аt), то кожне рівняння у функції параметра може за описаних вище умов зображатися на графіках теж прямолінійними ділянками. Відомо, що пряму лінію можна задати параметричними лінійними рівняннями. Якщо із них виключити спільний параметр, то ми прийдемо до рівняння в явній або неявній формі, і це рівняння теж буде лінійним, тобто вид графіка не змінюється. Це означає, що маючи рівняння у явній формі сумарного графіка із прямолінійною ділянкою можна перейти до параметричних рівнянь і теж отримати таку ділянку.
Інтерполяційну сумарну функцію будемо розглядати як параметричну, тобто у вигляді:
(2.2)
де с1 ...сn, d1 ...dn - коефіцієнти, які знаходяться за умови проходження кривої (2.2) через n заданих точок;
a - коефіцієнт перед аргументом, якому можна надавати певних значень;
t - змінний параметр, який в заданих точках приймає ціле значення (1, 2 ... n) за номером точки, а між точками - дробове.
Для знаходження коефіцієнтів с1 ...сn, d1 ... dn складається дві лінійні системи рівнянь по n рівнянь