Вы здесь

Асимптотичні властивості розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь.

Автор: 
Бельський Денис Валерійович
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2006
Артикул:
0406U000651
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

РАЗДЕЛ 2
Асимптотические свойства решений линейных дифференциально-функцио­нальных
уравнений с постоянными и переменными отклонениями аргу­мента.
Так как в первом разделе работы изучались линейные
дифференциально-функциональные уравнения с постоянными коэффициентами лишь в
случае, ко­гда отклонение аргумента имеет вид , , то естест­венно возникает
вопрос о свойствах решений дифференциально-функ­цио-нального уравнения вида
, (2.1)
где , в которое неизвестная функция и её производная входят как с переменными
так и с постоянными отклонениями аргумента. Именно исследование асимптотических
свойств решений уравнения (2.1) при , является основной целью второго раздела
настоящей работы.
2.1. Существование решения основной начальной задачи.
Рассмотрим начальную задачу
, ,
, , (2.2)
где , , и относительно начальной функции будем предполагать выполненным условие
«склейки»:
. (2.3)
Теорема2.1.1. Если и начальная функция удовлетворяет условию (2.3), то задача
(2.1), (2.2) имеет единственное - решение.
Доказательство. Сначала рассмот­рим отрезок , , и за­пи­шем задачу (2.1), (2.2)
в эквивалентной (в классе - решений) интег-ральной форме
(2.4)
Для доказательства существования решений задачи (2.4) применим метод
последовательных приближе­ний:
(2.5)
Так как и начальная функ­ция удовлетворяет усло­вию (2.3), то, рассуждая по
индукции, можно показать, что при всех .
Покажем, что при выполнении условий теоремы и достаточно малом сущест­вует
единственное непрерывное решение. Действительно, поскольку , то при достаточно
малом имеем
.
Далее, принимая во внимание (2.5), получаем
. Последнее неравенство означает, что ряд сходится, а, следовательно, и
последовательность непрерывных функций сходится равномерно на отрезке .
Последователь­ные приближения (2.5) удовлетворяют соот­ноше­ниям:
Отсюда в силу (2.5) получаем:
. (2.6)
Для сокращения записей введём обозначения , . Тогда, продолжая оценку (2.6),
находим: ,
откуда следует
Так как , то окончательно получаем
Поскольку ряд сходится, то сходится также ряд . Таким обра­зом,
последовательность сходится к - решению задачи (2.1), (2.2) по норме:
из чего сле­дует существование и единственность - решения за­дачи (2.1), (2.2).
С помощью метода шагов это решение можно продолжить на от­резок . Теорема
доказана.
2.2. Поведение решений при .
Рассмотрим сначала уравнение
, (2.7)
под решениями которого будем подразумевать непрерывно дифференцируемые при
функции, обращающие его в тождество при подстановке.
Теорема2.2.1. Пусть , - множество решений сис­темы
(2.8)
относительно параметра .
Тогда
1) если и , то и решения уравнения (2.7) удовлетворяют при условию , где ;
2) если , то решения уравнения (2.7) удовлетворяют при условию , где .
Доказательство. Сделаем в уравнении (2.7) замену переменных , где некоторое
действительное число, которое бу­дет опреде­лено позже. Получим:
Запишем последнее уравнение в виде:
, , (2.9)
и оценим . С этой целью отрезок , где ( взято таким, что отрезок имеет длину
больше 1), , такой, что при выполняется неравен­ство для
, назовём отрезком «роста». Если отрезков «роста» не сущест­вует, то -
ограниченная на функция. Предположим, что принадле­жит отрезку «роста» . Тогда
при и таких, что , , в силу (2.9) имеем
. (2.10)
Так как
,
то при и система (2.8) не противоречива.
Если , и , то при (где , а следова­тельно, и - достаточно большие числа) из
(2.10) получаем: . Следова­тельно, на интервале отрезков «роста» не
существует.
Предположим и выберем таким, что
и
Тогда в силу (2.10) имеем при и, таким образом, при . Теорема доказана.
Рассмотрим теперь уравнение
, (2.11)
для которого имеет место следующая теорема.
Теорема2.2.2. Пусть , - множество решений сис­темы
(2.12)
относительно переменной .
Тогда
1) если и , то и решения уравнения (2.11) удовлетворяют при условию , где ;
2) если и , то решения уравнения (2.11) удовлетворяют при условию , где .
Доказательство. Сделаем в уравнении (2.11) замену переменных
где некоторое действительное число, которое бу­дет определено позже. Полу­чим:
Запишем последнее уравнение в виде:

, (2.13)
и оценим . С этой целью отрезок , где ( взято таким, что отрезок имеет длину
больше 1), , такой, что при выполняется неравен­ство для , назо­вём отрезком
«роста». Если отрез­ков «роста» не существует, то - ограни­ченная на функ­ция.
Предположим, что принадлежит отрезку «роста» . Тогда при и таких, что , , в
силу (2.13) имеем:

. (2.14)
Так как
, и
, ,
то при и система (2.12) не противоречива.
Если , и , то при (где , а следова­тельно, и - достаточно большие числа) из
(2.14) сле­дует: . Таким образом, на интервале отрез­ков «роста» не
существует.
Предположим и выберем , (где , а, следова­тельно, и - достаточно большие числа)
такими, что выполняются нера­венства
Тогда в силу (2.14) имеем
при ,
и, следовательно, окончательно находим
при .
Теорема доказана.
Последняя теорема доказана при весьма ограни­чивающем условии , кото­рого
удалось избежать в следующей теореме.
Теорема2.2.3. Пусть , - множество решений сис­темы
относительно параметра . Тогда решения уравнения (2.11) удовлетворяют при
условию , гд