Вы здесь

Полікоординатні векторно-параметричні криві та поверхні в геометричному моделюванні.

Автор: 
Чорна Любов Степанівна
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2006
Артикул:
0406U003162
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

РОЗДІЛ 2
ПОЛІКООРДИНАТНІ ВЕКТОРНО – ПАРАМЕТРИЧНІ КРИВІ НА ПЛОЩИНІ
У цьому розділі описано метод моделювання об’єктів на основі полікоординатних
векторно-параметричних перетворень з використанням полікоординатних В-сплайнів,
розглянуто варіанти полікоординатних векторно-параметричних перетворень з
визначенням різних функціоналів і урахуванням вагових коефіцієнтів.
Розглянуто застосування методів інтерполяції та полікоординатних
векторно-параметричних перетворень у задачах поверхневих забруднень моря.
Геометрично формалізовано процес розтікання плям будь-якого походження на
поверхні водної акваторії.
2.1. Полікоординатні векторно-параметричні перетворення в моделюванні
геометричних об’єктів
Суть методу політканинного перетворення полягає в тому, що під час перетворення
змінюється (деформується) увесь простір (площина), а не тільки положення певних
точок [57].
Метод політканинних перетворень відповідає ідеї геометричних перетворень.
Геометричні перетворення мають фіксовану кількість параметрів на відміну від
політканинних перетворень, які можуть враховувати будь-яку (необмежену)
кількість параметрів.
Лінійна політканина розмірності в просторі є сукупністю сімейства прямих у
вигляді:
(2.1)
У дослідженнях [11,12,17,19,20,21,23,57,58,60-67] наукового керівника, проф.,
д.т.н. Бадаєва Ю.І. і д.т.н. Дорошенка Ю.О. запропоновані різні варіанти
політканинних перетворень.
Застосовуючи метод політканинних перетворень, з використанням
векторно-параметричного визначення з залученням полікоординатних
В-сплайнів отримано новий метод моделювання, який названо полікоординатні
векторно-параметричні перетворення [30-32].
Розглянемо варіанти полікоординатних векторно-параметричних перетворень.
Варіант 1. У найпростішому випадку політканинних перетворень функціонал має
такий вигляд:
(2.2)
Варіант 2. В функціонал (2.2) вводиться масштабний коефіцієнт М:
(2.3)

Варіант 3. Враховуючи специфіку методу полікоординатних перетворень, введемо
вагові коефіцієнти [29], які дають можливість керувати формою об’єкта таким
чином, що вони залежать від їх конкретних параметрів, а саме наступні
варіанти:
а) від призначених коефіцієнтів цих базисних ліній (рис.2.1).
Запишемо математично:
(2.4)
де - введений конкретний коефіцієнт.
б) від відстані до базових ліній (рис.2.2).

Рис. 2.1.Залежність форми об’єкта Рис. 2.2.Залежність форми об’єкта
від призначених коефіцієнтів від відстані до базових ліній
базисних ліній
(2.5)
де - відстань від визначеної точки до базової лінії;
- степінь залежності (задається користувачем).
в) від відстані між визначеною точкою до середини відрізка (рис.2.3 (а, б)).
Рис. 2.3 (а, б). Залежність форми об’єкта від відстані між визначеною точкою до
середини відрізка

Запишемо функціонал:
(2.6)
де - ваговий коефіцієнт;
- відстань від визначеної точки до середини відрізка.
Варіант 4. Полікоординатні векторно-параметричні В-сплайни, запропоновані
автором роботи в співавторстві з науковим керівником Бадаєвим Ю.І. [32].
Розглянемо запропонований спосіб. Нехай задана політканина за допомогою точок
перетину базових прямих, а також крайових точок, а саме точки (рис. 2.4). В цій
політканині візьмемо криву-прообраз, який заданий загущеним дискретним точковим
каркасом . На кривій-прообразі виділимо “вузлові” точки, які будуть найближчі
до середин відрізків базових прямих . Позначимо їх як . У вузлових точках
призначимо значення параметра : (для ), (для ) ,…, (для ).
Рис. 2.4. Полікоординатне задання точкової кривої.
Для точок, які знаходяться між вузловими, розрахуємо параметри за формулою:
(2.7)
де – порядковий номер точки від однієї вузлової точки до наступної;
– порядковий номер вузлової точки;
– кількість проміжних точок між вузловими і .
Для точок призначимо параметри наступним чином: , , .
Задамо об’єкт та базис у параметричному визначенні наступними залежностями:
(2.8)
де , - координати вершин за віссю x;
, - координати вершин за віссю .
(2.9)
де ;
, – координати перетвореного об'єкта;
- параметр точки прообразу.
На рис 2.5 зображено полікоординатне визначення параметричних кривих.
Рис. 2.5. Полікоординатне визначення параметричних кривих
Будемо розраховувати політканинні перетворення за допомогою мінімізації
функціоналу:
(2.10)
де - порахований параметр точки;
- спеціальний ваговий коефіцієнт, зміст якого буде визначатись наступним
чином.
В системі координат побудуємо графіки зміни коефіцієнта в залежності від
параметра (рис.2.6) таким чином, що для кожної точки кривої-прообразу будуть
визначатись залежності тільки від чотирьох найближчих базових ліній
політканини, а саме від відрізків , , та . Для цього визначимо залежності такі,
що на відрізках кривої-прообразу із вузловими точками та величина визначається
нульовою, а на відрізку визначається функцією, що в точках та має значення , а
в точці та похідна . Така функція може бути будь-якою. Можна застосувати,
наприклад, кубічні B-сплайни. В найбільш простішому випадку можна запропонувати
поліноміальні функції. Розглянемо останню пропозицію. Візьмемо поліном виду:
(2.11)
Рис. 2.6. Залежність вагового коефіцієнта базової прямої для заданої точки
Для забезпечення 1-го порядку гладкості необхідно визначити функцію (2.11) із
наступних умов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Для забезпечення цих 4-х умов достатньо
взяти поліном (2.12) третього степеня, який буде мати вигляд (опустимо висновки
за явною простотою) (рис. 2.7):
(2.12)
При
Симетрична до (2.12) визначиться функція: