Вы здесь

Зліченноточкові крайові задачі для диференціальних рівнянь у просторі обмежених числових послідовностей

Автор: 
Недокіс Володимир Адамович
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2007
Артикул:
0407U000223
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

Розділ 2
КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
НОРМАЛЬНОГО ВИДУ
2.1. Крайова задача з нелінійною зліченноточковою крайовою
умовою на півосі та умови існування її розв'язку
Позначимо через простір обмежених числових послідовностей дійсних чисел з нормою , де множина натуральних чисел, а через простір послідовностей , , обмежених за нормою , де норма в просторі . Норму нескінченної матриці , узгоджену з нормою вектора , визначимо рівністю . Нехай і .
Поставимо задачу: знайти розв'язок рівняння
, (2.1)
який задовольняє умову
(2.2)
де
,;
обмежені за нормою нескінченні матриці, такі, що
під похідною розуміється вектор ; функція
Через позначимо функцію що має властивості:
1*. .
2*. На півосі існує неперервна, невід'ємна похідна , обмежена сталою .
Наступні умови назвемо умовами (А):
1) справджуються нерівності
, (2.3)
де та додатні сталі;
2) функція неперервна на відносно і існує така функція з властивостями , що
(2.4)
де довільні точки з , а і додатні сталі, що не залежать від точок і з ;
3) матриця оборотна і обернена до неї матриця обмежена за нормою.
Легко помітити, що тоді оборотною є матриця і обернена до неї матриця
теж обмежена за нормою.
Через позначимо підмножину з , кожен елемент якої входить у ножину разом зі своїм околом, де
а вектор узято так, що причому . Неважко перевірити, що .
Наступні умови назвемо умовами (В):
а) множина є непорожньою;
б) справджується нерівність
Надалі для вектор-функції , через позначатимемо вектор .
Випишемо формально рекурентну послідовність вектор-функцій наступним чином:
(2.5)
Для існування такої послідовності достатньо, щоб при всіх функції були неперервними за нормою відносно змінної на додатній півосі та обмеженими за нормою числом (не виходили за межі множини ). Тоді збіжність невласного інтеграла (покоординатна) буде забезпечена першою з умов (2.4) та властивостями функції .
Теорема 2.1. Припустимо, що виконуються умови (А) і (В). Тоді:
1) послідовність , визначена рівностями (2.5), рівномірно збіжна при відносно до функції , причому
; (2.6)
2) функція задовольняє крайову умову (2.2) і є розв'язком рівняння
(2.7)
де
; (2.8)
3) якщо
, (2.9)
то функція є розв'язком крайової задачі (2.1), (2.2).
Доведення. При з (2.5) одержуємо, що
При всіх збігається, оскільки є неперервною відносно на проміжку функцією і
Для довільних маємо:
де .
Оскільки функція неперервна на , то останні нерівності гарантують неперервність функції за нормою на цьому проміжку.
Оцінимо тепер за нормою різницю , використавши наступні нерівності:

Доведення першої з цих нерівностей не викликає труднощів. Доведемо дру-гу. маємо
Беручи до уваги першу з нерівностей (2.4), прийдемо до співвідношення
перейшовши в якому до границі при і врахувавши при цьому умову 1*, одержимо потрібну нерівність.
Тепер легко перевірити, що справджується співвідношення
тобто при .
Припустивши, що функції неперервні за нормою на і не виходять за межі множини , після проведення аналогічних міркувань переконуємось, що ці властивості при має функція . Згідно принципу повної математичної індукції ці властивості має функція , тобто співвідношення (2.5) визначають функціональну послідовність .
Простою підстановкою легко перевірити, що елементи цієї послідовності задовольняють рекурентну умову
(2.10)
при кожному .
Доведемо, що вказана послідовність є збіжною за нормою при . Оскільки простір повний, то досить довести її фундаментальність. Використовуючи співвідношення (2.3) - (2.5), отримуємо, що
Ввівши позначення , з останньої нерівності одер-жимо, що
.
Згідно принципу математичної індукції неважко переконатися, що для довільного натурального
Для довільних натуральних справджується тотожність
з якої, оцінюючи праву частину зверху, одержимо
Оскільки і , то при рівномірно відносно за нормою простору
і виконується нерівність (2.6).
Послідовність збігається до рівномірно відносно і . Це очевидним чином випливає з нерівності . Крім того, послідов-ність збігається до рівномірно відносно , що випливає з наступних нерівностей:
де додатна стала при фіксованому .
Це дає можливість перейти у (2.5) покоординатно до границі при і одержати рівність

Легко бачити, що
за нормою простору , і, крім того,
З цих співвідношень випливає, що в рекурентних умовах (2.10) можна здійснити граничний перехід за нормою при , який показує, що задовольняє крайову умову (2.2). Це завершує доведення перших двох тверджень теореми 2.1. Доведення третього її твердження очевидне.
Умовами (В0) назвемо умови (В), в яких нерівність замінено сильнішою оцінкою
Наслідок 2.1. Якщо функцію обрано, то при умовах (А) і (В0) не існує іншого значення , такого, при якому розв'язок рівняння (2.7) з початковою умовою задовольняв би крайову умову (2.2).
Доведення. Припустимо, що і функції та такі, що , , , причому ці функції задовольняють рівність (2.2).
Тоді
і
де .
Зауважимо, що обидві функції , вважаються обмеженими на за нормою сталою . Позначимо через . З вищевказаних рівностей випливають співвідношення
з яких, у свою чергу, випливають оцінки:
а коефіцієнт, що стоїть перед у правій частині останньої нерівності, строго менший за одиницю.
Звідси випливає, що тобто . При цьому, звичайно, що завершує доведення.
Домовимось надалі функцію виду (2.8) називати точною визначальною функцією, її значення при фіксованому керуючим параметром або керуванням, а рівняння (2.9) - точним визначальним рівнянням, і розглядатимемо поряд з точним визначальним рівнянням наближене визначальне рівняння
де