Вы здесь

Інформаційні технології аналізу і прогнозування нестаціонарних процесів.

Автор: 
Демківський Евген Олександрович
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2007
Артикул:
3407U003759
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

РОЗДІЛ 2

МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВИХ ТРЕНДІВ НЕСТАЦІОНАРНИХ ПРОЦЕСІВ

В даному розділі розглядаються задачі побудови математичних моделей процесів з випадковими і детермінованими трендами. Задача коректного моделювання детермінованих трендів полягає в тому, щоб визначити послідовність побудови моделі із застосуванням детермінованих функцій, що описують тренд. Моделювання стохастичних трендів пов'язане із застосуванням функцій у вигляді комбінацій випадкових процесів та оцінювання параметрів цих процесів. Наводяться приклади застосування запропонованих моделей до описання випадкових трендів реальних процесів різної природи.

2.1. Моделі тренду на основі процесу випадкового кроку
Задачею даного підрозділу є моделювання детермінованих та випадкових трендів нестаціонарних процесів.
Детермінований тренд називають ще глобальним трендом процесу. Однак, на сьогодні існує тенденція до вироблення більш загального підходу до описання тренду, а саме, використання локальних моделей замість глобальних. При цьому тренд розглядають як стохастичну функцію часу. Одним із підходів до описання локального тренду є введення залежності коефіцієнтів моделі від часу:
, (2.1)
де локальна константа; коефіцієнт, який визначає локальний нахил тренду. Отримано результати моделювання, які показують, що такі функції є більш робастними, ніж детерміновані функції поліноміального типу.
Альтернативним підходом до описання локального тренду є використання рекурсивних рівнянь типу або в ускладненому варіанті
, (2.2)
де випадкова змінна, яку для простоти можна прийняти послідовністю білого шуму з відомою дисперсією. Це рівняння можна назвати рівнянням випадкового кроку із змінним в часі перетином . Модель (2.2) необхідно доповнити рівнянням, яке описує зміну в часі перетину, тобто . Наприклад, , де випадковий збурюючий процес. Зазначимо, що рівень та швидкість зростання безпосередньо не спостерігаються. Наприклад, в моделі лінійного зростання спостереження часового ряду визначається сумою , де - похибка моделі, зумовлена рядом факторів, що виникають при її побудові. Зокрема, це похибки вимірів та обчислювальні похибки.
Модель випадкового кроку є однією з найпростіших, яка дозволяє описати випадковий тренд в деяких випадках. Вона має вигляд:
, (2.3)
або , де білий шум з нульовим середнім. При ростом значення основної змінної в даній моделі є випадкова величина. Запишемо розв'язок цього рівняння:
,
,

. (2.4)
Розв'язок (2.4) називають невласним (improper), оскільки він містить незважену суму випадкових величин. Розглянемо статистичні характеристики отриманого розв'язку.
Математичне сподівання: . Умовне математичне сподівання:
,
.
Функція прогнозування на довільне число кроків на основі розв'язку:
,
,
. (2.5)
Тобто, величина прогнозу не залежить від числа кроків. Знайдемо значення дисперсії для розв'язку . Для моменту :

.
Для моменту часу :

. (2.6)
Таким чином, і .
Автокореляційна функція (АКФ) для цього процесу має вигляд:
. (2.7)
Тобто, АКФ для процесу випадкового кроку є повільно спадаючою функцією.
Розглянемо приклад застосування моделі (2.3) для ідентифікації та прогнозування ряду спостережень ціни акцій однієї із фірм на Нью-Йоркській фондовій біржі, динаміка якого наведена на рис 2.1.
Рис. 2.1. Динаміка спостережень ціни акцій однієї із фірм на Нью-Йоркській фондовій біржі за 2004 рік

Описавши даний процес за допомогою моделі (2.3), отримаємо наступні статистичні характеристики DW=1,9329, R2=0,9891, AIC=0,6854. Статистичні параметри залишків моделі ?(k) наступні: E[?(k)]=0,0021, var[?(k)]=0,3679, графік залишків наведено на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Графік залишків моделі (2.3)
Графік часткової автокореляційної функції ?(k) наведено на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Автокореляційна функція залишків моделі (2.3)
Модель, що описує даний процес має наступний вигляд
?(k) = 0,0006 - 0,0749 ?(k-2) + 0,0668 ?(k-3) - 0,0753 ?(k-7) - 0,0927 ?(k-8)+?1(k),
і має такі статистичні характеристики DW=1,9298, R2=0,6354, AIC=0,7063.
Побудуємо прогноз поведінки ряду на п'ять кроків та порівняємо його з дійсними значеннями ряду. Результат прогнозування наведено на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Прогноз поведінки ряду ціни акцій однієї із фірм на Нью-Йоркській фондовій біржі за 2004 рік, побудований на основі моделі випадкового кроку
Модель випадкового кроку плюс дрейф (зміщення або перетин). В даному випадку до моделі випадкового кроку додається константа :

. (2.8)
При відомій початковій умові розв'язок рівняння (2.8) має вигляд:
(2.9)
Таким чином, на впливають дві нестаціонарні компоненти - лінійний детермінований тренд і стохастичний тренд . Математичне сподівання і умовне математичне сподівання мають вигляд:
, .
Для того щоб отримати функцію прогнозування, запишемо рівняння (2.9) для моменту : ,
і умовне математичне сподівання
. (2.10)
Таким чином, отримана функція прогнозу відрізняється від функції прогнозу для випадкового кроку (2.5) тим, що містить складову .
Застосуємо модель (2.8) для ідентифікації та прогнозування ряду наведеного на рис. 2.1. Даний процес може бути описаний наступною моделлю
y(k)=0,0412+y(k-1)+?(k),
яка має такі статистичні характеристики DW=1,9304, R2=0,9892, AIC=0,6931.
Статистичні параметри залишків моделі ?(k) наступні: E[?(k)]=-0,0393, var[?(k)]=0,3402, графік залишків наведено на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Графік залишків моделі (2.8)
Графік часткової автокореляційної функції ?(k) наведено на рис. 2.6.
Рис. 2.6. Автокореляційна функція залишків моделі (2.8)
Модель, що описує даний процес має наступний вигляд
?(k) = -0