Вы здесь

Загальні перетворення типу згортки та найкращі наближення функцій

Автор: 
Шаврова Оксана Борисівна
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2008
Артикул:
0408U001957
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

РОЗДІЛ 2.
Перетворення типу згортки та найкращі наближення в просторах .
2.1. Про деякі властивості перетворень типу згортки та найкращі
наближення тригонометричними поліномами у просторах .
Нехай - простір періодичних періоду інтегрованих по Лебегу функцій , для яких збігається ряд ,
де , з нормою
,
.
Питання наближення періодичної функції тригонометричними поліномами в просторах детально і широко розглянуті у роботах О.І.Степанця (див.[34], [35]).
За допомогою функції , яка задана на всій дійсній вісі і нерівна тотожньо нулю на , та яка є функцією обмеженої варіації на , розглядається для кожної функції наступне перетворення
( - дійсний параметр).
При цьому, вказана вище функція задовольняє ще умовам:
, ,
де .

Зразу зауважимо, що в частинному випадку, коли
(),
тобто
то утворює модуль гладкості для функції . А, коли
де
, , ,
то функції утворює лінійний оператор для функції з ядром .
Такі загальні перетворення, які прийнято називати перетвореннями типу згортки для класичних Лебегових просторів раніш розглядались в роботах Shapiro H.S. [31], Shapiro H.S. и Boman J. [32], а також Тімана М.П. [48].
За допомогою вказаного перетворення , для кожної функції розглядається характеристика
Неважко помітити, що ряд Фур'є перетворення має вигляд: , де - коефіцієнти Фур'є функції .
Завдяки цьому, має місце нерівність
де .

Дійсно,

.
Крім цього характеристика для просторів , має наступні властивості
1) ;
2) , ;
3) нехай та - дві скінченні міри на прямій.
Тоді
.
Властивість 1) випливає з того, що .
Властивість 2) отримуємо з рівності
де - відповідні коефіцієнти Фур'є функцій та , а
Далі очевидно, що
.
Після застосування нерівності Мінковського отримуємо
Властивість 3) випливає з очевидної нерівності
,
де .
Завдяки нерівності Мінковського з цього одержуємо:
Далі, для кожної функції розглянемо також величину , яка, очевидно, має наступні властивості:
1) ;
2) не спадає на ;
3) неперервна на .
Далі відомо (див. [35]), що найкращим наближенням функції тригонометричними поліномами порядку в метриці простору є сума Фур'є порядку , тобто
,
де , - коефіцієнти Фур'є функції.
Таким чином .
Відмітимо, також, ще одне допоміжне твердження, яке характеризує простори на відміну від просторів .

Лема. Нехай () і , а - послідовність цілих чисел і така, що
.
Тоді справедлива рівність
,
де
- коефіцієнти Фур'є функції .
Твердження леми випливає з того, що
та з рівності
За допомогою цієї леми доводяться наступні твердження, які встановлюють оцінки величин і через найкращі наближення функція простору .

Теорема 2.1.1. Нехай функція , а послідовність цілих чисел така, що
.
Тоді, при має місце оцінка
. (2.1.1)

Теорема 2.1.2. При виконанні умов тереми 2.1.1. справедлива оцінка
, (2.1.2)
де .
Доведення теореми 2.1.1. Завдяки тому, що
та очевидної рівності
де - частинні суми порядку ряду Фур'є функції , одержуємо, що
Завдяки тому, що
то
Далі, користуючись відомим перетворенням Абеля, одержуємо, що
Тому
З оцінок й випливає нерівність (2.1.1).
Доведення теореми 2.1.2. Так як вказано при доказі теореми 2.1.1
то очевидно, що
.
Після застосування до правої частини цієї нерівності перетворення Абеля (див. доведення теореми 2.1.1) одержуємо оцінку (2.1.2), тобто твердження теореми 2.1.2.
Зауваження. Якщо в нерівностях 2.1.1 та 2.1.2 функцію простору замінити на тригонометричний поліном ступеню , то завдяки тому, що одержуємо в цьому випадку, що величина й зверху та знизу оцінюється величиною
.

2.2. Про апроксимативні властивості лінійних методів
підсумовування рядів Фур'є у просторах

Нехай періодична періоду інтегрована по Лебегу функція має ряд Фур'є
.
Нехай крім того задана система чисел , , , коли .
Для кожної інтегрованої функції за допомогою вказаної системи чисел розглянемо лінійний оператор виду

Завдяки роботам С.Н.Бернштейна, Вале-Пуссена, А.Зігмунда, С.М.Никольського, Р.М.Тригуба, С.Б.Стечкіна, П.Л.Ульянова, В.В.Жука, О.П. і М.П. Тіманів та інших математиків для випадків просторів одержані точні порядкові оцінки відхилень функції від операторів через найкращі наближення функцій в метриці цього простору .
В підрозділі 2.2 розглядаються аналогічні задачі, які стосуються апроксимативних властивостей операторів в просторах .
Під простором розуміємо сукупність функцій , для яких
, .
За норму в просторі приймається для , а при .
Таким чином, нижче вивчається поведінка величини
Для просторів має місце наступне загальне твердження.
Твердження 2.2.1. Якщо періодична періоду функція а система чисел задовольняє умовам , , коли , то справедлива рівність
де - найкращі наближення порядку функції тригонометричними поліномами .
Твердження 2.2.2. Якщо періодична періоду функція , у випадку, коли система чисел є нескінченна послідовність та справедлива рівність
. (2.2-А)

Доведення твердження 2.2.1. Завдяки означення норми функції в просторах одержуємо рівність
.

Крім того, відомо що найкращі наближення функції тригонометричними поліномами порядку здійснюють частинні суми її ряду Фур'є порядку , тобто
.
Таким чином
Враховуючи це маємо, що
З цього випливає, що
Далі, користуючись перетворенням Абеля, яке має вигляд
та в якому позначено через ,
одержуємо шукану рівність

Доведення твердження 2.2.2. Розглянемо рівність
в якій
, а .
Завдяки