Вы здесь

Поляризаційні та електромагнітні властивості релятивістських частинок зі спіномї

Автор: 
Любченко Марія Вікторівна
Тип работы: 
Дис. канд. наук
Год: 
2008
Артикул:
0408U003846
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

РОЗДІЛ 2
РЕЛЯТИВІСТСЬКИ-ІНВАРІАНТНІ РІВНЯННЯ ДЛЯ ВІЛЬНИХ ЧАСТИНОК ЗІ СПІНОМ
Той факт, що, згідно з принципом відносності, у всіх інерціальних системах
відліку фізичні процеси проходять однаково, означає, що рівняння для опису цих
процесів мають бути інваріантними відносно перетворень Лоренца, які є
обертаннями чотиривимірного простору-часу. Якщо додати вимогу просторової і
часової однорідності, тобто інваріантності відносно трансляцій, а для більшості
процесів – інверсії осей координат та часу, то з точки зору математики матимемо
все для побудови релятивістськи-інваріантних рівнянь вільних полів (з кожним
видом частинок в квантовій теорії, як відомо, пов’язане поле, квантами якого і
є ці частинки). Ми розглянемо підхід теорії груп і Лагранжів формалізм та
рівняння для вільного поля зі спіном 1, які дають ці два методи.
2.1. Рівняння руху для вільних полів
Групою Лоренца називається група всіх перетворень простору Мінковського M, що
залишають нерухомою фіксовану точку О і зберігають інтервали. Якщо не вимагати
нерухомості якої-небудь точки, ми дійдемо найзагальніших перетворень простору
M, які зберігають інтервали. Всі такі перетворення складають групу Пуанкаре
(P). Група P включає групу Лоренца і підгрупу зсувів (або трансляцій). Будь-яке
перетворення групи P може бути представлене у вигляді послідовного виконання
перетворення Лоренца () і трансляції на деякий вектор а.
Полем називається будь-яка функція в просторі Мінковського M із значеннями в
скінченновимірному (комплексному або дійсному) векторному просторі V. Якщо
вибрати в V базис, то кожне таке поле зображається системою функцій хвильовою
функцією.
При перетвореннях (а, ) групи Пуанкаре поле перетворюється за правилом
(2.1)
де – матриця скінченновимірного представлення групи Лоренца у просторі V.
Оскільки розмірність простору V визначає число компонент поля (у даній точці),
то поле можна просто ототожнити з представленням групи Пуанкаре спеціального
вигляду (2.1). Якщо представлення звідне, то поле можна звести до комбінації
полів, що відповідають незвідним представленням. Отже, надалі будемо завжди
цікавитись лише останніми.
Представлення групи Пуанкаре (2.1) є нескінченновимірним у сенсі простору, до
якого належать хвильові функції Однак це представлення не є незвідним.
Інваріантний підпростір цього представлення може бути виділений накладенням
деяких лінійних співвідношень на поля даного типу, які можуть включати не лише
комбінації компонент поля (за допомогою яких окреслюються інваріантні
підпростори групи Пуанкаре), а й лінійні оператори, що діють на окремі
компоненти як на функції від х. Обмежимося лише найпростішим випадком
диференційних операторів. Рівняннями руху для даного типу вільних полів
називають диференційні рівняння, що виділяють у просторі полів даного типу
незвідні представлення групи Пуанкаре.
Розглянемо тепер зв’язок перетворень групи Пуанкаре з представленнями групи
SL(2), бо на мові спінорів релятивістськи-інваріантні рівняння для полів з
будь-яким спіном, по-перше, можна отримувати майже автоматично, і, по-друге,
вони мають найкомпактнішу форму. Третя причина – недостатнє освітлення в
літературі переходу між спінорним виглядом рівнянь до більш звичного тензорного
(це стосується насамперед випадку спіну 1 і вище, рівняння Вейля і Дірака
розглядаються у багатьох роботах, наприклад, [105]; там же розглянуте рівняння
Максвелла, але немає рівнянь для масивної частинки зі спіном 1, написання їх і
є основною метою даного розділу). І, останнє, ми цікавимося введенням в
релятивістськи-інваріантні рівняння електромагнітної взаємодії. Спінорна форма
рівнянь дозволяє включення електромагнітного поля (достатньо сильного, щоб на
нього можна було не враховувати зворотню дію поля частинки, і такого, яке
феноменологічно описується вектор-потенціалом) простим подовженням похідної. У
підрозділі 2.5 ми розглянемо також введення аномального магнітного моменту до
рівняння для частинки зі спіном 1, і зв’язок спінорних рівнянь з рівняннями
Прока з цього приводу також здається корисним.
Спочатку дамо визначення групі SL(2). Для спінорів і коспінорів завдається
скалярний добуток (навідміну від векторів, в цей добуток входять завжди тільки
пара коспінор-спінор і лише в такому порядку) , лінійний відносно спінора і
антилінійний відносно коспінора,
і невироджений, тобто для кожного спінора чи коспінора існує пара, така, що
добуток не дорівнює нулю. В просторі спінорів і коспінорів можуть бути обрані
дуальні базиси, для яких
Тоді
Спінорні і коспінорні координати залежать від вибору базису і самі по собі
фізичного сенсу не мають.
Як у звичайному векторному просторі, в просторах спінорів і коспінорів
завдається метрика. Однак навідміну від більш звичних випадків (той же простір
Мінковського) ці білінійні комбінації антисиметричні,
де С, С– 1 – оператори, що переводять відповідно спінор у коспінор і навпаки.
Можна нормувати форми і так, щоб
Тоді
і зв’язок між спінорними і коспінорними компонентами має вигляд
Найзагальніше лінійне перетворення спінорів дає для двох спінорів матричне
співвідношення
Звідки
Тобто для того, щоб перетворення и залишало незмінною метричну форму спінорного
простору необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова det|u|=1. Всі такі (вони
називаються унімодулярними) матриці другого порядку утворюють групу SL(2), яка
називається унімодулярною групою другого порядку або бінарною групою.
Із спінорів і коспінорів будують спін-тензори, кількість непунктованих і
пунктованих індексів (r, s) визначає, відповідно, добутком (побудованим за
певними правилами) скількох спінорів (