Вы здесь

Обернені нестаціонарні задачі гідромеханіки високошвидкісних тіл

Автор: 
Нестерук Ігор Георгійович
Тип работы: 
Дис. докт. наук
Год: 
2004
Артикул:
0504U000619
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

РОЗДІЛ 2
ПОСТАНОВКА НЕСТАЦІОНАРНИХ ОСЕСИМЕТРИЧНИХ ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ ГІДРОМЕХАНІКИ
2.1. Загальна постановка задачі

Для опису руху тіла в рідині при достатньо великих числах Рейнольдса

(2.1)

( - швидкість руху у фіксований момент часу, L' - довжина тіла, ?' - кінематична в'язкість, позначка ' буде використовуватись для фізичних, тобто розмірних величин) успішно застосовується модель ідеальної рідини, яка задовільно описує поле швидкостей поза межами вузького примежового шару поблизу поверхні тіла. Якщо, крім того, обмежитись діапазоном малих чисел Маха
(2.2)
( -швидкість звуку на нескінченності у фіксований момент часу), то рідину або газ можна вважати нестисливими. В подальшому будемо використовувати термін "рідина", маючи на увазі також рух газу з малим числом Маха. Не дуже сильне обмеження (баротропність рідини та наявність потенціалу масових сил) дозволяють використовувати безвихорові течії. Підсумовуючи все сказане, приходимо до наступної крайової задачі (Рис. 2.1): в області течії D для потенціалу нестаціонарної осесиметричної безвихорової течії ідеальної нестисливої рідини Ф(x,r,t) справедливе рівняння Лапласа (2.3). На поверхні тіла ?+?1 має місце кінематична крайова умова непротікання (2.4), а на нескінченності - умова (2.5).
Рис. 2.1

D: , (2.3)

?+?1: , (2.4)

?: . (2.5)

В рівняннях (2.3)-(2.5) використовуються наступні безрозмірні величини:

, , ,
, ,

де t?x - характерний час нестаціонарності, наприклад, період пульсацій, R? - радіус тіла, L? - його довжина у фіксований момент часу. Якщо радіус тіла R(x,t) та закон його руху задані, то потенціал Ф(x,r,t) можна знайти з використанням рівнянь (2.3)-(2.5).
Набагато складнішими є так звані обернені задачі, для яких частина форми тіла ? невідома, а для її визначення використовується деяка додаткова умова.
Найбільш розповсюджена форма цієї умови полягає в завданні тиску p?(x,t) на невідомій частині поверхні ? (зокрема, ? може охоплювати всю поверхню тіла). Використання інтеграла Коші-Лагранжа та безрозмірного коефіцієнта тиску Cp(x,t) дозволяє записати цю додаткову умову на поверхні ? у вигляді

(2.6)

; ,

де S(t) - безрозмірне прискорення, Fr(t) - число Фруда, яке слід враховувати у важкій рідині, g? - прискорення вільного падіння, p??(0,t) - тиск в рідині далеко від тіла на рівні x=0. Знак "-" перед останнім членом в рівнянні (2.6) відповідає направленому вздовж оси х вектору прискорення сили тяжіння, знак "+" - протилежному напрямку. Безрозмірна швидкість одержується шляхом ділення на поточне значення швидкості U??(t).
2.2. Кавітаційні течії
Прикладом предметної області, де виникає проблема розв'язання задачі (2.3)-(2.6) є так звані кавітаційні течії, характерні для швидкого руху твердих тіл у воді. В цьому випадку ? є поверхнею каверни - порожнини в рідині, заповненої газом або водяною парою. З врахуванням великої різниці в густині води та газу можна вважати, що рух газової фази не впливає на рух рідини, тобто достатньо задавати на поверхні каверни ? коефіцієнт тиску Cp(t) лише як функцію часу.
В теорії та практиці кавітаційних течій замість Cp прийнято користуватись числом кавітації

, (2.7)
де - тиск на поверхні каверни.
Каверна практично не може замкнутися так, як показано на Рис. 2.1. Вирішення цієї проблеми викликало до життя багато схем замикання каверни (приклади для плоских задач можна знайти в [5]). В просторовому випадку найбільш простою є так звана несиметрична схема Рябушинського, в якій каверна замикається на уявне тверде тіло - замикач, форма якого визначається характером розв'язку для каверни. Зокрема, теорія тонкого тіла дозволяє формально використовувати рівняння для форми каверни аж до моменту її замикання (див. [7,12]). Тоді умова гладкості на стику каверни та замикача виконується автоматично, а сумарна довжина каверни і замикача визначається з рівняння
(2.8)

Отже, для кавітаційних течій можна вважати, що поверхня ?1 складається з двох частин - кавітатора, тобто тіла що утворює каверну, та замикача (його не показано на Рис. 2.1). Слід підкреслити, що в нестаціонарному випадку обидві частини можуть мінятися з часом.
Окремо слід зупинитися на випадку так званої часткової кавітації, коли каверна недостатньо велика, щоб охопити все тіло. Тоді вона замикається на його поверхні. Для визначення довжини каверни достатньо нуль у правій частині формули (2.8) замінити радіусом твердого тіла, на яке вона замикається. Докладно випадок стаціонарної часткової кавітації розглядається в Розділі 6.
Для парових каверн, як правило, можна вважати сталою величиною, наприклад, якщо температура води мало міняється. Тоді рівнянь (2.3)-(2.6), закону руху тіла та умов гладкості на стику заданої поверхні ?1 та невідомої ? достатньо для визначення потенціалу течії, поля швидкостей та сил, що діють на тверде тіло.
У випадку газових каверн для визначення функції потрібні додаткові припущення. Приклади відповідних моделей і рівнянь можна знайти в [1, 2].
Часто в практичних задачах закон руху твердого тіла наперед невідомий. Тоді до співвідношень (2.3)-(2.6), рівняння для потрібно додати ще рівняння динаміки кавітатора, в якому враховуються гідродинамічні та інші зовнішні сили. Приклади таких співвідношень можна знайти в [2].
Окремий випадок обернених з