Вы здесь

Граничні теореми для бакстерівських сум випадкових функцій та їх застосування для оцінок параметрів.

Автор: 
Курченко Олександр Олексійович
Тип работы: 
Дис. докт. наук
Год: 
2006
Артикул:
0506U000605
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

глава ІІІ монографії
М.Й.Ядренка [105], а також його статті [103, 104]. Відмітимо також присвячені
цим питанням праці З.С.Зеракідзе [22, 23], А.В.Скорохода та М.Й.Ядренка [96],
С. Каландарішвілі [28]. Умови еквівалентності та ортогональності ймовірнісних
мір, що відповідають гауссовим узагальненим однорідним випадковим полям
дослідив у докторській дисертації С.М.Краснитський [38]. Серед робіт, в яких
для отримання умов ортогональності мір застосовуються теореми бакстерівського
типу, відмітимо монографію І.А.Ібрагімова та Ю.А.Розанова [24], де автори на
основі теореми Леві-Бакстера отримали достатні умови ортогональності мір для
стаціонарних гауссових випадкових процесів у термінах кореляційних функцій та
спектральних щільностей, а також статті В.Г.Алексєєва [3, 4], Ю.М.Рижова [92],
С.M.Краснитського [37], O.О.Курченка [60]. В.В.Булдигін, В.М.Мельник та
В.Г.Шпортюк [11] за методом Леві-Бакстера встановили достатні умови
сингулярності розподілів дробових полів з функціями відгуку певного вигляду.
Зупинимося на ще одному розділі, в якому можна застосувати теореми
Леві-Бакстера для випадкових процесів та полів – параметричному оцінюванні у
статистиці випадкових процесів. Теорії оцінок параметрів випадкових процесів
присвячена монографія А.Я.Дороговцева [21], в якій викладена математична теорія
статистичних оцінок параметрів для широкого класу випадкових процесів.
Статистиці випадкових процесів присвячені також монографії І.А.Ібрагімова та
Р.З.Хасьмінського [25], І.Ш.Ібрамхалілова та А.В.Скорохода [26], Р.Ш.Ліпцера,
А.М. Ширяєва [75], П.С. Кнопова [29], Ю.А.Кутоянца [71], І.В.Басава та Пракаса
Рао [108], Ж.Берана [110], П.Брокуелла і Р. Давіса [117]. Статистичні проблеми
для випадкових полів розглядаються у монографії О.В.Іванова та М.М. Леоненка
[27].
В останні два десятиліття інтенсивно досліджувалися випадкові процеси (поля) з
довгою пам’яттю (довгостроковою залежністю). У найважливіших застосуваннях
статистики випадкових процесів, таких як гідрогеологія, теорія турбулентності,
геофізика, економіка, фінансова математика часто виникає потреба створювати
математичні моделі, в яких фігурують випадкові функції з довгостроковою
залежністю. Відомий гідролог Г.Е.Хюрст виявив феномен довгої пам’яті при
дослідженні питання про впорядкування течії Нілу [110, п. 1.5.2]. Для
характеристики довгострокової залежності він ввів параметр , який називають
параметром Хюрста, а при кажуть, що відповідний випадковий процес має довгу
пам’ять. Так, наприклад, стаціонарний випадковий процес з дискретним часом,
кореляційна функція якого задовольняє співвідношенню
~
має довгу пам’ять при , при цьому .
Для процесів з довгою пам’яттю характерні відносно тривалі періоди високих
рівнів і відносно тривалі періоди низьких рівнів. Б.Б.Мандельброт (Mandelbrot
B.B.) назвав таку поведінку ефектом Йосипа [110, п. 1.5.2]. Дійсно,
послідовність максимальних річних рівнів Нілу має довгострокову залежність, і
тому за відносно довгим періодом високих його рівнів може слідувати відносно
довгий період низьких рівнів. Від річного максимального рівня Нілу залежить
урожайність у Єгипті. Ім’я Йосипа з’явилося у зв’язку з біблійною історією про
те, як Йосип відгадує сни фараона: „Ось приходить сім літ, – великий достаток у
всім краї єгипетськім. А по них настануть сім літ голодних, – і буде забутий
увесь той достаток в єгипетській землі, і голод знищить край.” [Книга Буття 41;
29 – 30].
Оцінюванню параметрів у статистичних моделях з довгою пам’яттю присвячена
монографія Я. Берана [110], в якій міститься досить повний перелік робіт із
цієї тематики. Так, оцінки параметрів у моделях регресії із дискретним часом та
похибками, що утворюють випадковий процес з довгою пам’яттю, досліджували
І.Яджіма [207], Х.Л.Коуль [157], Р.Дахлхаус [120], П.М.Робінсон та Ф.Д.Хідальго
[192], Дж.Беран і С.Гош [111] та інші математики. У статтях [147, 148]
О.В.Іванов та М.М.Леоненко довели конзистентність та встановили асимптотичні
розподіли для оцінок найменших квадратів та М-оцінок векторного параметра у
моделях нелінійної регресії з неперервним часом як з гауссовими так і з
негауссовими шумами з довгостроковою залежністю. Результати для моделей
регресії з шумами з довгою пам’яттю значно відрізняються від відповідних
результатів для моделей регресії із слабко залежними похибками [148]. Статті
[147, 148] містять досить повний список літератури з питань оцінювання
параметрів у моделях регресії з довгою пам’яттю.
В останні два десятиліття випадкові процеси з довгою пам’яттю (довгостроковою
залежністю) міцно ввійшли у математичні моделі у багатьох галузях науки і
техніки, зокрема таких як гідрологія, гідромеханіка, метеорологія,
радіоелектроніка, телекомунікаційні засоби, фінансова математика. Тому у
статистиці випадкових процесів інтенсивно досліджується проблема оцінювання
індексу Хюрста як міри довгострокової залежності. Цій тематиці присвячена
монографія Я.Берана [110], роботи Л.Жірайтіса, Г.Коуль [138], Ф. Комта [119],
П.М.Робінсона [191] та багато інших робіт. Серед методів оцінювання параметра
Хюрста довгострокової залежності першим був застосований метод статистики,
винайдений Г.Е.Хюрстом [146], та досліджений Б.Б.Мандельбротом [180, 181],
Б.Б.Мандельбротом та Ж.Р.Валлісом [182]. Для оцінювання індексу довгої пам’яті
застосовують також метод корелограм, метод дисперсій, метод варіограм, метод
найменших квадратів оцінювання коефіцієнтів регресії у спектральній області,
оцінки максимальної правдоподібності [110]. Однак, для більшості цих методів, -
як відмічає Я.Беран [110],