Вы здесь

Економіко-математичне моделювання динаміки та розвитку відкритої економіки

Автор: 
Ляшенко Олена Ігорівна
Тип работы: 
Дис. докт. наук
Год: 
2007
Артикул:
0507U000004
99 грн
(320 руб)
Добавить в корзину

Содержимое

РОЗДІЛ 2
СТАБІЛІЗАЦІЯ НЕСТІЙКИХ ТРАЄКТОРІЙ ЕКОНОМІЧНОГО ЗРОСТАННЯ В АГРЕГОВАНИХ ДИНАМІЧНИХ МОДЕЛЯХ ВІДКРИТОЇ ЕКОНОМІКИ

В наступних підрозділах розглянуті важливі питання про стійкість ринкових механізмів, порушення їх стійкості та математичні методи стабілізації нестійких траєкторій оптимального економічного зростання шляхом відповідного структурного регулювання.

2.1. Про стійкість оптимальної траєкторії двохсекторної економіки

Агреговані моделі економічної динаміки є важливим предметом вивчення макроекономічної еволюції [14, 170]. Як правило, при цьому розглядається однопродуктова економіка. Значно рідше розглядається двохсекторна економіка, що складається з сектору засобів виробництва та сектору предметів споживання і яка бере свій початок ще від схем простого і розширеного відтворення К.Маркса. В роботі [84] досліджена двохсекторна модель економіки на предмет існування оптимального стаціонарного розв'язку. При цьому геометричним шляхом були одержані результати про оптимальні розподіли капіталу та праці між секторами, що максимізують питоме споживання, розраховане на душу населення.
В даному підрозділі розглядається більш загальна двохсекторна модель економіки з трудовими ресурсами, що зростають експоненціально, та критерієм інтегрального дисконтованого споживання. Одержані необхідні і достатні умови існування магістрального розвитку такої двохсекторної економіки та досліджена задача максимізації споживання на душу населення на стаціонарній траєкторії.
Отже, розглядається економіка, що складається з двох секторів, що характеризуються виробничими функціями Y1=F1(K1,L1), Y2=F2(K2,L2). Перший сектор випускає засоби виробництва, другий - предмети споживання. У відповідності з цим інвестиції та основні фонди як першого, так і другого сектора здійснюються лише за рахунок випуску Y1 першого сектора, а споживання C збігається з випуском Y2 другого сектора. Вважаємо, що загальний обсяг L=L1+L2 трудових ресурсів, що розподіляються між секторами, експоненціально змінюється в часі з заданим темпом . Виходячи з цього, одержуємо систему диференціальних рівнянь

де
де
Виробничі функції Y1=F1(K1,L1), Y2=F2(K2,L2) вважаємо неокласичними, тобто такими, що характеризуються лінійною однорідністю, додатними частковими похідними по K і L, від'ємними другими частковими похідними по KK і LL, а також нульовим значенням, якщо хоча б один з ресурсів K або L нульовий.
Рівень питомого споживання c=C/L визначає корисність або добробут суспільства в будь-який момент часу. Вважаємо, що функція соціальної корисності на душу населення U(c) двічі неперервно диференційована і має властивості, що постулюються в математичній економіці:

для будь-якого c>0,
при , при .
Добуток U(c)L дає сумарний добробут всього населення в момент t. Помножимо сумарний добробут U(c)L на функцію дисконтування в часі і після інтегрування одержимо інтегральний дисконтований добробут всього населення
Тут додатна величина p=r-n>0 при обмеженій величині рівня питомого споживання забезпечує збіжність даного інтеграла добробуту, оскільки .
Отже, задача оптимального економічного зростання формулюється таким чином:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Для дослідження сформульованої задачі оптимального керування побудуємо гамільтоніан

(2.8)
де - двоїсті змінні, що відповідають диференціальним рівнянням (2.2), (2.3). Цей гамільтоніан розглядається на множині (2.5) - (2.7).
Якщо план s(t), q(t) оптимальний, то згідно принципу максимуму існують такі неперервні функції (тіньові ціни капіталів K1 та K2), що виконані умови (2.2) - (2.7) і диференціальні рівняння для двоїстих змінних

(2.9)
(2.10)
Функція s(t) максимізує вираз

при обмеженнях (цей вираз одержується з гамільтоніана відкиданням членів, що не залежать від s ). Легко одержуємо
(2.11)
Щоб максимізувати вираз (2.8) по q, покладаємо
(2.12)
При цьому
оскільки згідно (2.12) величина . Отже, H дійсно максимізується по q.
Розглянемо тепер кожний із трьох можливих випадків (2.11) окремо. Випадок 1 () та випадок 2 () описують так званий "крайовий ефект" (початкові умови дуже занижені або дуже завищені в порівнянні з оптимальною траєкторією). Ці випадки носять не основний характер, на основну ділянку оптимальної траєкторії не впливають і тому нами детально не досліджуються.
Розглянемо детально лише випадок 3 (). Нехай . Тоді рівняння (2.9), (2.10) дозволяють знайти в явному вигляді. Маємо з (2.9), (2.10)

Прирівнюючи праві частини цих рівнянь, одержуємо
(2.13)

В той же час з умови (2.12) маємо
(2.14)

Отже, з (2.13), (2.14) одержуємо необхідну і достатню умову оптимальності по керуванню q у вигляді

(2.15)
Позначаючи, як звичайно,
де f1(k1), f2(k2) - неокласичні виробничі функції капіталоозброєності: одержуємо

Тоді умова оптимальності (2.15) по керуванню перепишеться у вигляді
(2.16)

З рівнянь (2.2), (2.3) системи одержуємо

(2.17)

Якщо тепер детально розглянути випадок сталих керувань: , то при фіксованих s, q система диференціальних рівнянь (2.17), очевидно, має єдиний стаціонарний розв'язок , що визначається з рівнянь

(2.18)

Якщо при цьому поставити задачу максимізації споживання на душу населення на стаціонарній траєкторії: